Assiomi dell'aritmetica

[stepper1]

Qualcuno sa spiegarmi perchè ci si pone il problema della decidibilità o meno intorno alla dimostrabilità della congettura di Goldbach, visto che interessa un settore della matematica quale l'aritmetica, di cui Goedel ha già da tempo dimostrato la non decidibilità sulla contradditorietà?
In altre parole se non è possibile stabilire se l'aritmetica sia contradditoria o meno, è logico pensare che una congettura di aritmetica appaia vera ma non sia dimostrabile. Con ciò non voglio dire che sia proprio la congettura di Goldbach ad essere destinata a questa sorta di "limbo" ma di sicuro qualche cosa del genere in aritmetica deve esserci visto che è impossibile dimostrare se essa è o non è contraddittoria.
Inoltre mentre in geometria è normale parlare di assiomi o postulati, quali sarebbero gli assiomi dell'aritmetica?
O la contradditorietà o meno dell'aritmetica risulta indecidibile in fondo proprio per questo motivo, perchè non è stata costruita in modo razionale come la geometria? Esiste anche per l'aritmetica un sistema di postulati come per la geometria?
Vi sarei grato se mi illuminaste a riguardo.

[carlo232]

"stepper":Qualcuno sa spiegarmi perchè ci si pone il problema della decidibilità o meno intorno alla dimostrabilità della congettura di Goldbach, visto che interessa un settore della matematica quale l'aritmetica, di cui Goedel ha già da tempo dimostrato la non decidibilità sulla contradditorietà?

Veramente io credo che i matematici si preoccupino di più di cercare una dimostrazione alla congettura di Goldbach che di capire se essa sia o meno indimostrabile. Quello del collegamento Goedel-Goldbach a me sembra piuttosto un pastone fatto da chi si è interessato ai più complessi problemi della matematica in modo decisamente superficiale.

Esistono decine di congetture analoghe a quella di Goldbach ma molto più deboli, ad esempio riguardo l'equazione $n=phi(x)+phi(y)$, tutte ancora non dimostrate eppure se ci si chiede l'esistenza di una congettura indimostrabile viene citato subito Goldbach...non capisco perchè si voglia ledere a tal punto nella generalità...

[vl4dster]

quali sarebbero gli assiomi dell'aritmetica?

Se stiamo parlando di Aritmetica di Peano gli assiomi ci sono eccome

[Thomas16]

"carlo23":
Veramente io credo che i matematici si preoccupino di più di cercare una dimostrazione alla congettura di Goldbach che di capire se essa sia o meno indimostrabile. Quello del collegamento Goedel-Goldbach a me sembra piuttosto un pastone fatto da chi si è interessato ai più complessi problemi della matematica in modo decisamente superficiale.

... credo di non capire....