Assioma dell'unione
Allora, premetto che in teoria degli insiemi sono alle primissime armi, quindi se scrivo cavolate siate pazienti 
Ero abituata a pensare all'unione come un' operazione binaria tra insiemi, ma leggendo gli assiomi di Zermelo Fraenkel mi imbatto in questo concetto di "unione di un insieme"
Da quello che ho capito l' assioma garantisce l'esistenza per ogni insieme non vuoto di un secondo insieme i cui elementi appartengono agli elementi del primo.
Per il momento mi sembra di capire che questa "unione di un insieme A" sia quella che avrei chiamato "unione di tutti gli insiemi appartenenti ad A"
Forse è solo un modo per poter definire l'unione, visto che l'assioma della coppia garantiva l'esistenza di un insieme i cui elementi sono una qualsiasi coppia (e per induzione un qualsiasi numero di insiemi)?
Ma allora non capisco perché non definire l'unione al solito modo: per ogni coppia di insiemi esiste un insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi che appartengono al primo o al secondo...non mi è chiaro in che modo questa definizione strana è più chiara o esaustiva della solita...mi sembrerebbero equivalenti
Ero abituata a pensare all'unione come un' operazione binaria tra insiemi, ma leggendo gli assiomi di Zermelo Fraenkel mi imbatto in questo concetto di "unione di un insieme"
Da quello che ho capito l' assioma garantisce l'esistenza per ogni insieme non vuoto di un secondo insieme i cui elementi appartengono agli elementi del primo.
Per il momento mi sembra di capire che questa "unione di un insieme A" sia quella che avrei chiamato "unione di tutti gli insiemi appartenenti ad A"
Forse è solo un modo per poter definire l'unione, visto che l'assioma della coppia garantiva l'esistenza di un insieme i cui elementi sono una qualsiasi coppia (e per induzione un qualsiasi numero di insiemi)?
Ma allora non capisco perché non definire l'unione al solito modo: per ogni coppia di insiemi esiste un insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi che appartengono al primo o al secondo...non mi è chiaro in che modo questa definizione strana è più chiara o esaustiva della solita...mi sembrerebbero equivalenti
Risposte
@anaiss,
non devi vedere l'assioma dell'unione soltanto, quindi separato dal resto degli assiomi di ZF... per il tuo caso devi vedere/applicare prima l'\(\mbox{assioma della coppia}\) e dopo l'\(\mbox{assioma dell' unione}\) (così facendo dovresti capire l'equivalenza di definire l'unione al "solito modo" e nel modo assiomatico
Saluti
"anaiss":
Allora, premetto che in teoria degli insiemi sono alle primissime armi, quindi se scrivo cavolate siate pazienti
Ero abituata a pensare all'unione come un' operazione binaria tra insiemi, ma leggendo gli assiomi di Zermelo Fraenkel mi imbatto in questo concetto di "unione di un insieme"
Da quello che ho capito l' assioma garantisce l'esistenza per ogni insieme non vuoto di un secondo insieme i cui elementi appartengono agli elementi del primo.
Per il momento mi sembra di capire che questa "unione di un insieme A" sia quella che avrei chiamato "unione di tutti gli insiemi appartenenti ad A"
Forse è solo un modo per poter definire l'unione, visto che l'assioma della coppia garantiva l'esistenza di un insieme i cui elementi sono una qualsiasi coppia (e per induzione un qualsiasi numero di insiemi)?
Ma allora non capisco perché non definire l'unione al solito modo: per ogni coppia di insiemi esiste un insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi che appartengono al primo o al secondo...non mi è chiaro in che modo questa definizione strana è più chiara o esaustiva della solita...mi sembrerebbero equivalenti
non devi vedere l'assioma dell'unione soltanto, quindi separato dal resto degli assiomi di ZF... per il tuo caso devi vedere/applicare prima l'\(\mbox{assioma della coppia}\) e dopo l'\(\mbox{assioma dell' unione}\) (così facendo dovresti capire l'equivalenza di definire l'unione al "solito modo" e nel modo assiomatico
Saluti
In sostanza avevi centrato il problema, ma il motivo penso sia strettamente assiomatico/fondazionale.. Prendi ad esempio il Pagani-Salsa, definisce le operazioni tra gli insiemi nel modo non assiomatico (addirittura senza dire/usare insiemi di insiemi), alla fine del capitolo precisa l'approccio assiomatico/fondazionale..etc etc... ma in tutto il resto del libro usa le operazioni insiemistiche con le definizioni più larghe possibili ( e non è il solo )
Ma allora le due definizioni sono proprio equivalenti? Avevo pensato che magari c'era qualche sottigliezza che mi sfuggiva, e che la vecchia definizione magari non era applicabile in qualche caso, o generava qualche contraddizione.
@anaiss,
bhè, diciamo che hai appena dimostrato con gli assiomi di ZF la tua definizione (cioè quella del tipo \( A \cup B=\{x|x \in A \vee x \in B\}\)), per il resto non posso dire altro non essendo esperto in materia (vediamo se vi è qualche esperto che può aiutarti meglio di me )
Saluti
P.S.=Dipende dall'approccio che ti interessa avere sulla Teoria degli insiemi, assiomatico o meno!
"anaiss":
Ma allora le due definizioni sono proprio equivalenti? Avevo pensato che magari c'era qualche sottigliezza che mi sfuggiva, e che la vecchia definizione magari non era applicabile in qualche caso, o generava qualche contraddizione.
bhè, diciamo che hai appena dimostrato con gli assiomi di ZF la tua definizione (cioè quella del tipo \( A \cup B=\{x|x \in A \vee x \in B\}\)), per il resto non posso dire altro non essendo esperto in materia (vediamo se vi è qualche esperto che può aiutarti meglio di me
)Saluti
P.S.=Dipende dall'approccio che ti interessa avere sulla Teoria degli insiemi, assiomatico o meno!
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