Assioma della Coppia e Teoria di Neumann Bernays Godel
Ho due domande da porre a Luca.Lussardi e Sandokan e a chi ha voglia e le conoscenze per rispondermi.
1) Ho visto un affermazione in un topic di Luca.Lussardi nella quale afferma che l'assioma della coppia discende da quello dirimpiazzamento, affermazione poi confermata da Sandokan. Qualcuno potrebbe spiegarmi il perchè per favore perchè non ci arrivo da solo.
2) Qualcuno può enunciarmi gli assiomi di Neumann-Bernays-Godel delle classi perchè ho perso il documento dove li avevo scaricati e su INTERNET non riesco più a rintracciarlo.
Grazie!!!
1) Ho visto un affermazione in un topic di Luca.Lussardi nella quale afferma che l'assioma della coppia discende da quello dirimpiazzamento, affermazione poi confermata da Sandokan. Qualcuno potrebbe spiegarmi il perchè per favore perchè non ci arrivo da solo.
2) Qualcuno può enunciarmi gli assiomi di Neumann-Bernays-Godel delle classi perchè ho perso il documento dove li avevo scaricati e su INTERNET non riesco più a rintracciarlo.
Grazie!!!
Risposte
Grazie è il sito che non riuscivo a ritrovare!
L'assioma di rimpiazzamento della Teoria ZF afferma che se $R(x,y)$ è una frase aperta in $x$ ed $y$ tale per cui se per ogni $x,y_1,y_2$ si ha che $R(x,y_1)=R(x,y_2)$ implica $y_1=y_2$, allora dato un insieme $X$ esiste l'insieme $Y$ degli elementi $y$ tali per cui vale $R(x,y)$ per un certo $x \in X$.
Applicando tale assioma si ottiene il Teorema di accoppiamento: per ogni $a,b$ esiste l'insieme che contiene $a$ e $b$. Infatti la frase aperta $R(x,y)$ data da ($x=\Phi$ e $y=a$) o ($x=P(\Phi)$ e $y=b$) verifica le ipotesi dell'assioma di rimpiazzamento. Se $X=P(P(\Phi))$ allora esiste l'insieme $Y$ che contiene $a$ e $b$, come da assioma di rimpiazzamento.
Applicando tale assioma si ottiene il Teorema di accoppiamento: per ogni $a,b$ esiste l'insieme che contiene $a$ e $b$. Infatti la frase aperta $R(x,y)$ data da ($x=\Phi$ e $y=a$) o ($x=P(\Phi)$ e $y=b$) verifica le ipotesi dell'assioma di rimpiazzamento. Se $X=P(P(\Phi))$ allora esiste l'insieme $Y$ che contiene $a$ e $b$, come da assioma di rimpiazzamento.
Scusa Luca ma tutto questo mi ricorda un esercizio del primo anno di università in algebra: dimostrare che era sbagliata la seguente dimostrazione
Ip. Se R è una relazione di equivalenza valgono le proprietà
1) riflessiva xRx
2) simmetrica xRy -> yRx
3) transitiva xRy e yRz -> xRy
allora (tesi)
la proprietà 1) è ridondante rispetto alle altre 2.
Dimostrazione:
Supponiamo valgano 2 e 3.
Per la 2 xRy -> yRx, ma per la 3 xRy e yRx -> xRx.
Il punto debole della dimostrazione era che poteva non esistere la y per fare i passaggi. Ad esempio se xRy è la relazione x ha gli stessi genitori di y, ma x è figlio unico, dove gli trovo un fratello per dimostrare che ha gli stessi genitori di se stesso. Lo posso fare solo se ho laproprietà riflessiva già bella e confezionata.
Mutatis mutandis io ti rivolgo la domanda dato un insieme X esiste l'insieme Y degli elementi y per cui vale R(x,y), ma chi ci assicura che esistano tali y e Y non sia vuoto?
Ip. Se R è una relazione di equivalenza valgono le proprietà
1) riflessiva xRx
2) simmetrica xRy -> yRx
3) transitiva xRy e yRz -> xRy
allora (tesi)
la proprietà 1) è ridondante rispetto alle altre 2.
Dimostrazione:
Supponiamo valgano 2 e 3.
Per la 2 xRy -> yRx, ma per la 3 xRy e yRx -> xRx.
Il punto debole della dimostrazione era che poteva non esistere la y per fare i passaggi. Ad esempio se xRy è la relazione x ha gli stessi genitori di y, ma x è figlio unico, dove gli trovo un fratello per dimostrare che ha gli stessi genitori di se stesso. Lo posso fare solo se ho laproprietà riflessiva già bella e confezionata.
Mutatis mutandis io ti rivolgo la domanda dato un insieme X esiste l'insieme Y degli elementi y per cui vale R(x,y), ma chi ci assicura che esistano tali y e Y non sia vuoto?
E se anche fosse vuoto? dova sta il problema? non mi pare di vedere falle logiche in quello che ho scritto.
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