Aritmetica modulo P

[enpires1]

Ciao a tutti!!! Ho appena iniziato il mio corso di Geometria, e durante la spiegazione è uscita fuori la Caratteristica di un Campo... Per fare un esempio di campi con una caratteristica diversa da 0 il professore ci ha fatto gli esempi dei campi $F_P$ che a quanto ho capito fanno entrare in gioco l'aritmetica modulo P. Ecco io ne ho afferrato un pò dei concetti basilari in quell'oretta di lezione, o meglio credo di averli afferrati... Provo ad esporli a voi per chiedere conferma
Allora

Un campo $F_P$ è un campo in cui posto un numero $r$ tale che $0<=r
Per dimostrare che $F_p$ è un campo si devono verificare le varie proprietà dei campi, quindi:
l'associativa, commutativa e distributiva sono banali.
A partire dalla dimostrazione dell'esistenza dello 0 comincio ad avere i miei dubbi. lo 0 (elemento neutro per la somma) è un qualsiasi numero x tale che $AA t in F_p, x + t = t$ quindi per definizione di $F_p$ ho che $x = kp$ quindi ho più di uno 0... possibile?? idem per l'elemento neutro del prodotto
L'opposto lo calcolo facendo $m + m' = 0 \hArr m + m' = p \hArr m' =p-m$

per l'inverso ho buone difficoltà!
ho che $m * m' = 1$, quindi $km + sm' = 1$ ma adesso sinceramente non so come andare avanti...

Qualcuno può levarmi questi dubbi?? o possibilmente consigliarmi qualche buona risorsa per darmi un infarinatura di aritmetica modulo p?? (anche se ancora non comprendo il suo utilizzo in geometria)
Grazie mille in anticipo

[Lord K]

"enpires":Ciao a tutti!!! Ho appena iniziato il mio corso di Geometria, e durante la spiegazione è uscita fuori la Caratteristica di un Campo... Per fare un esempio di campi con una caratteristica diversa da 0 il professore ci ha fatto gli esempi dei campi $F_P$ che a quanto ho capito fanno entrare in gioco l'aritmetica modulo P. Ecco io ne ho afferrato un pò dei concetti basilari in quell'oretta di lezione, o meglio credo di averli afferrati... Provo ad esporli a voi per chiedere conferma
Allora

Un campo $F_P$ è un campo in cui posto un numero $r$ tale che $0<=r
Per dimostrare che $F_p$ è un campo si devono verificare le varie proprietà dei campi, quindi:
l'associativa, commutativa e distributiva sono banali.
A partire dalla dimostrazione dell'esistenza dello 0 comincio ad avere i miei dubbi. lo 0 (elemento neutro per la somma) è un qualsiasi numero x tale che $AA t in F_p, x + t = t$ quindi per definizione di $F_p$ ho che $x = kp$ quindi ho più di uno 0... possibile?? idem per l'elemento neutro del prodotto
L'opposto lo calcolo facendo $m + m' = 0 \hArr m + m' = p \hArr m' =p-m$

Ricorda che qui hai una relazione di equivalenza e quindi i numeri che citi in fondo sono classi, quindi ci sono molti numero che sono in relazione con $0$, ma una sola classe è effettivamente lo $0$ ovvero tutti i multipli di $p$

per l'inverso ho buone difficoltà!
ho che $m * m' = 1$, quindi $km + sm' = 1$ ma adesso sinceramente non so come andare avanti...

Qualcuno può levarmi questi dubbi?? o possibilmente consigliarmi qualche buona risorsa per darmi un infarinatura di aritmetica modulo p?? (anche se ancora non comprendo il suo utilizzo in geometria)
Grazie mille in anticipo

Semplicemente, c'è un teorema che dice che i campi sono nella forma $F_p$ con $p$ primo o come $F_(p^k)$ sempre con $p$ primo. Se siamo nel primo caso hai che:

$gcd(a,p)=1$ per qualsiasi $a!=0+kp$

allora per il teorema di Bezout esistono $lambda, mu: lambda*a+mu*p=1$ e da qui hai l'inverso.

[enpires1]

ehm questa non ho capito proprio il significato
"gcd(a,p)=1 per qualsiasi a≠0+kp"
Mente il teorema di bezout l'ho cercato su internet e l'ho capito

[Lord K]

Il massimo comune divisore tra un numero che non è multiplo di $p$ e $p$ è $1$. Ovviamente se è multiplo di $p$ è la classe dello $0$ e quindi non invertibile.

[enpires1]

Grazie mille capito Ma in generale mi consigliate qualche lettura per quanto riguarda l'aritmetica modulo p?

[Lord K]

Diciamo che dipende dagli argomenti che ti interessano... potrebbe bastare un libro di Algebra o se ti interessano dettagli più ampi un libro di Aritmetica superiore o di Teoria dei numeri...

[enpires1]

praticamente devo affrontare un esame d geometria