Aritmetica modulare
Ciao a tutti. Io l'aritmetica modulare non riesco proprio a capirla. Ad esempio, quando studio analisi so cosa sto leggendo, riesco ad immaginarmi i grafici e quello che devo calcolare. Ma nell'aritmetica modulare mi trovo a fare gli esercizi a macchinetta, senza capirli veramente. E quando mi trovo davanti a esercizi nuovi non so da dove cominciare. Stavo facendo questi esercizi
1) Provare che $n^9+2n^7+3n^3+4n in 5Z$ per ogni $n in Z$
2) In $Z_69$ dire quanti sono gli elementi di $\bara$ tali che $\bara^44 = 1$
che non avevo mai fatto prima e sono andato nel panico perché fra poco ho l'esame.
Potete spiegarmi come si risolvono? Non so proprio da dove iniziare, se non forse dal teorema di Fermat per il secondo esercizio, ma non ne sono così sicuro. Per favore! Grazie!
1) Provare che $n^9+2n^7+3n^3+4n in 5Z$ per ogni $n in Z$
2) In $Z_69$ dire quanti sono gli elementi di $\bara$ tali che $\bara^44 = 1$
che non avevo mai fatto prima e sono andato nel panico perché fra poco ho l'esame.
Potete spiegarmi come si risolvono? Non so proprio da dove iniziare, se non forse dal teorema di Fermat per il secondo esercizio, ma non ne sono così sicuro. Per favore! Grazie!
Risposte
Dobbiamo dimostrare che per ogni $n in ZZ$ si ha $5| n^9+2n^7+3n^3+4n $.
Notiamo che $n^9+2n^7+3n^3+4n = n(n^8+2n^6+3n^2+4)$, quindi se $5|n$ siamo già a posto.
Se \( 5 \nmid n \), allora $n^2 in {-1,1} (mod 5)$.
Se $n^2 -= -1 (mod 5)$, si ha $n^8+2n^6+3n^2+4-= (-1)^4 +2(-1)^3 +3(-1)+4 = 1-2-3+4= 0 (mod 5)$.
Se $n^2 -= 1 (mod 5)$, si ha $n^8+2n^6+3n^2+4-= (1)^4 +2(1)^3 +3(1)+4 = 1+2+3+4= 10-=0 (mod 5)$.
Troviamo gli $a in ZZ_{69}$ tali che $a^44 = 1$.
Sappiamo che $69= 3*23$.
Inoltre sappiamo (piccolo teorema di Fermat) che per ogni $b in ZZ$ tale che $(b,69)=1$ vale $b^(varphi(69))-=1 (mod 69)$.
Ora, quanto vale $varphi(69)$?
Notiamo che $n^9+2n^7+3n^3+4n = n(n^8+2n^6+3n^2+4)$, quindi se $5|n$ siamo già a posto.
Se \( 5 \nmid n \), allora $n^2 in {-1,1} (mod 5)$.
Se $n^2 -= -1 (mod 5)$, si ha $n^8+2n^6+3n^2+4-= (-1)^4 +2(-1)^3 +3(-1)+4 = 1-2-3+4= 0 (mod 5)$.
Se $n^2 -= 1 (mod 5)$, si ha $n^8+2n^6+3n^2+4-= (1)^4 +2(1)^3 +3(1)+4 = 1+2+3+4= 10-=0 (mod 5)$.
Troviamo gli $a in ZZ_{69}$ tali che $a^44 = 1$.
Sappiamo che $69= 3*23$.
Inoltre sappiamo (piccolo teorema di Fermat) che per ogni $b in ZZ$ tale che $(b,69)=1$ vale $b^(varphi(69))-=1 (mod 69)$.
Ora, quanto vale $varphi(69)$?
Ciao Gi8! 
Grazie! Però ho un dubbio, dire $5Z$ è la stessa cosa di $Z_5$?
Se non lo è allora qual è la differenza e come si risolverebbe nell'altro caso?
Grazie! Però ho un dubbio, dire $5Z$ è la stessa cosa di $Z_5$? Se non lo è allora qual è la differenza e come si risolverebbe nell'altro caso?
"francesfarmer":Assolutamente no.
$5Z$ è la stessa cosa di $Z_5$?
$5ZZ$ è il sottoinsieme di $ZZ$ (che è l'insieme dei numeri interi) formato da tutti e soli i multipli di $5$.
$ZZ_5$ è l'insieme delle classi di resto modulo $5$. Possiede cinque elementi: $[0], [1], [2],[3],[4]$.
Ciascuno di questi elementi è un insieme: $[n]:={n+5m | m in ZZ}$
Ad esempio $[1]= {..., 1,6,11,16,..., -4,-9,-14,...}$
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