Aritmetica modulare

[simomis1]

Non riesco a capire la seguente affermazione:

Se a * b = a * c modulo n, e a è relativamente primo con n, allora b = c modulo n .

Potreste darmi qualche dritta?

[Kashaman]

Cosa , di preciso , non ti è chiaro?
La proposizione è chiara.
Se $a,b,c \in ZZ , ab-=ac(modn), (a,n)=1 => b-=c(modn)$

Il fatto che $(a,n)=1$ ci garantisce che $EE a^(-1) in ZZ_n$ e quindi
moltiplicando a sinistra si ha che $a^(-1)(ab)-=(a^(-1)a)b-=a^(-1)(ac)-=(a^(-1)a)c(modn) => 1*b-=1*c(modn)=>b-=c(modn)$

[simomis1]

Grazie per il suggerimento!
Io ho pensato a questo, ma non so se è una cosa valida:
Se $a * b -= a * c$ mod n, allora $(a*b)-(a*c) $ è un moltiplo di $n$ , ovvero $n$ divide $a * (b - c)$.
Se $n$ divide $a * (b - c)$, posso scrivere che $a*(b-c)=n*k$ per qualche $k$.
Questo posso riscrivero in $b-c=n*(k/a)$ il che significa che $n$ divide $b-c$ e quindi che $b-=c$ mod $n$.

Posso considerare corretto questo ragionamento?

[Kashaman]

"simomis":Grazie per il suggerimento!
Io ho pensato a questo, ma non so se è una cosa valida:
Se $a * b -= a * c$ mod n, allora $(a*b)-(a*c) $ è un moltiplo di $n$ ,

non ci piove

ovvero $n$ divide $a * (b - c)$.
Se $n$ divide $a * (b - c)$, posso scrivere che $a*(b-c)=n*k$ per qualche $k$.
Questo posso riscrivero in $b-c=n*(k/a)$ il che significa che $n$ divide $b-c$ e quindi che $b-=c$ mod $n$.

Posso considerare corretto questo ragionamento?

Non credo, chi ti dice che $k/a$ è un intero? chi ti dice che puoi dividere $k$ per $a$? da quello che sai, $k$ potrebbe essere benissimo l'unità di $ZZ$.
Il mio praticamente non era un suggerimento ma una vera e propria dimostrazione. comunque, si può usare, vedi un po te come, questo lemma :

Siano $a,b , n \in ZZ$ .
Se $(a,n)=1 , n|ab => n|b$