Aritemtica modulare e TdN: suggerimenti per un ignorante?
Buonasera a tutti.
Scusate il disturbo, avrei bisogno di un piccolo aiuto. Come il titolo del topic suggerisce, riguarda aritmetica modulare e, più in generale, TdN. Sono un perfetto ignorante in questo settore, che non è proprio il mio forte (amo l’Analisi, come si sarà già capito); tuttavia ho deciso di colmare questa mia lacuna (anche piuttosto grave, se vogliamo). D’ora in poi, quindi, temo (per voi!!) che spesso ricorrerò al vostro sempre prezioso aiuto.
Mi rivolgo a voi anzitutto per chiedervi se avete suggerimenti su links utili o titoli di libri da consultare: sono completamente a digiuno e quindi i testi dovrebbero proprio partire da zero. Io ho già fatto qualche ricerca su google ma i risultati sono piuttosto scarsi. Ho trovato una “mini dispensina” (7 pagine!) sulle congruenze modulo $m$. Lette le prime pagine, mi sono imbattuto nel seguente Teorema:
“Il quadrato di ogni numero naturale $n$ è congruente a $0mod4$ oppure $1mod4$”.
Sicuramente per gli esperti del settore questo è un semplicissimo e notissimo teorema. Posso chiedervi di guardare se la mia dimostrazione è esatta? (sulla dispensa non era riportata: era richiesta come esercizio):
Allora, la tesi è $n^2=0mod4$ oppure $n^2=1mod4$, con $n in NN$.
Distinguiamo due casi:
1) n è pari. $n = 2h$ quindi $n^2=4h^2$. Ora in $4h^2$ compare evidentemente il fattore 4, per cui $4|4h^2$, cioè $n^2=0mod4$.
2) n è dispari. Posto $n=2h+1$ (i risultati sarebbero analoghi se fosse $n=2h-1$) posso dire che $n^2=4h^2+4h+1$. Ora, $n^2-1=4h^2+4h=4h(h+1)$. Da qui, di nuovo come prima, dico che compare il fattore 4 e che quindi $4|(n^2-1)$ cioè che $n^2=1mod4$
q.e.d
E’ giusta? Non lo so, ripeto sono alle prime armi quindi vi prego di perdonarmi se ho fatto errori (spero comunque che non siano gravi).
Un ultimo dubbio su un problema simile: devo dimostrare che per ogni $n$ naturale dispari è $n^2=1mod8$. I ragionamenti sono simili a quelli che ho fatto sopra:
$n=2h+1$
$n^2-1=4h^2+4h$
Ma da qui come posso affermare che $8|(4h^2+4h)$ ?
Vi ringrazio in anticipo per la vostra gentilezza e disponibilità.
Grazie, un saluto.
Paolo
P.S. Ovviamente se qualche moderatore e/o amministratore ritenesse opportuno spostare il topic da questa sezione [non so, mi sembrava la più adatta] lo faccia pure tranquillamente. Mi scuso se avessi sbagliato sezione. Grazie, Paolo.
Scusate il disturbo, avrei bisogno di un piccolo aiuto. Come il titolo del topic suggerisce, riguarda aritmetica modulare e, più in generale, TdN. Sono un perfetto ignorante in questo settore, che non è proprio il mio forte (amo l’Analisi, come si sarà già capito); tuttavia ho deciso di colmare questa mia lacuna (anche piuttosto grave, se vogliamo). D’ora in poi, quindi, temo (per voi!!) che spesso ricorrerò al vostro sempre prezioso aiuto.
Mi rivolgo a voi anzitutto per chiedervi se avete suggerimenti su links utili o titoli di libri da consultare: sono completamente a digiuno e quindi i testi dovrebbero proprio partire da zero. Io ho già fatto qualche ricerca su google ma i risultati sono piuttosto scarsi. Ho trovato una “mini dispensina” (7 pagine!) sulle congruenze modulo $m$. Lette le prime pagine, mi sono imbattuto nel seguente Teorema:
“Il quadrato di ogni numero naturale $n$ è congruente a $0mod4$ oppure $1mod4$”.
Sicuramente per gli esperti del settore questo è un semplicissimo e notissimo teorema. Posso chiedervi di guardare se la mia dimostrazione è esatta? (sulla dispensa non era riportata: era richiesta come esercizio):
Allora, la tesi è $n^2=0mod4$ oppure $n^2=1mod4$, con $n in NN$.
Distinguiamo due casi:
1) n è pari. $n = 2h$ quindi $n^2=4h^2$. Ora in $4h^2$ compare evidentemente il fattore 4, per cui $4|4h^2$, cioè $n^2=0mod4$.
2) n è dispari. Posto $n=2h+1$ (i risultati sarebbero analoghi se fosse $n=2h-1$) posso dire che $n^2=4h^2+4h+1$. Ora, $n^2-1=4h^2+4h=4h(h+1)$. Da qui, di nuovo come prima, dico che compare il fattore 4 e che quindi $4|(n^2-1)$ cioè che $n^2=1mod4$
q.e.d
E’ giusta? Non lo so, ripeto sono alle prime armi quindi vi prego di perdonarmi se ho fatto errori (spero comunque che non siano gravi).
Un ultimo dubbio su un problema simile: devo dimostrare che per ogni $n$ naturale dispari è $n^2=1mod8$. I ragionamenti sono simili a quelli che ho fatto sopra:
$n=2h+1$
$n^2-1=4h^2+4h$
Ma da qui come posso affermare che $8|(4h^2+4h)$ ?
Vi ringrazio in anticipo per la vostra gentilezza e disponibilità.
Grazie, un saluto.
Paolo
P.S. Ovviamente se qualche moderatore e/o amministratore ritenesse opportuno spostare il topic da questa sezione [non so, mi sembrava la più adatta] lo faccia pure tranquillamente. Mi scuso se avessi sbagliato sezione. Grazie, Paolo.
Risposte
A mio parere la dimostrazione è giusta.
Basta notare che $n^2-1=4(h^2+h)$ con $h^2+h$ numero pari (infatti se $h$ è pari [risp. dispari], $h^2+h$ è somma di due pari [risp. dispari] ed è perciò pari); posto $2k=h^2+h$, dall'uguaglianza precedente segue che $n^2-1=8k$, onde $n^2\equiv_8 1$ (o $n^2=1 "(mod. "8")"$ che scriver si voglia).
Bada però che sono Analista pure io!
"Paolo90":
Un ultimo dubbio su un problema simile: devo dimostrare che per ogni $n$ naturale dispari è $n^2=1mod8$. I ragionamenti sono simili a quelli che ho fatto sopra:
$n=2h+1$
$n^2-1=4h^2+4h$
Ma da qui come posso affermare che $8|(4h^2+4h)$ ?
Basta notare che $n^2-1=4(h^2+h)$ con $h^2+h$ numero pari (infatti se $h$ è pari [risp. dispari], $h^2+h$ è somma di due pari [risp. dispari] ed è perciò pari); posto $2k=h^2+h$, dall'uguaglianza precedente segue che $n^2-1=8k$, onde $n^2\equiv_8 1$ (o $n^2=1 "(mod. "8")"$ che scriver si voglia).
Bada però che sono Analista pure io!
"Gugo82":
A mio parere la dimostrazione è giusta.
Davvero? Che bella notizia!
"Gugo82":
Basta notare che $n^2-1=4(h^2+h)$ con $h^2+h$ numero pari (infatti se $h$ è pari [risp. dispari], $h^2+h$ è somma di due pari [risp. dispari] ed è perciò pari); posto $2k=h^2+h$, dall'uguaglianza precedente segue che $n^2-1=8k$, onde $n^2\equiv_8 1$ (o $n^2=1 "(mod. "8")"$ che scriver si voglia).
Oh già, è proprio vero. Non me ne ero accorto... Grazie mille.
"Gugo82":
Bada però che sono Analista pure io!
Davvero?? Preparati allora, perchè d'ora in poi non ti darò più tregua...
Grazie ancora.
Resto in attesa di suggerimenti per testi e/o links.
Grazie a tutti.
Paolo
algebra, piacentini catteneo c'è una buona parte solo sulla teoria dei numeri. è un ottimo compendio che va dalla teoria dei numeri fion alla teoria di Galois
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