Applicazioni polinomiali in Z3
Sia $S$ l'insieme dei polinomi di grado al piu 3 in $Z_3[x]$ , si considerino le applicazioni:
$ varphi _1:finS->f(1)inZ_3 $ e $ varphi _2:finS->f(2)inZ_3 $
Sono surriettive?
io mi trovo di si entrambe..Però ho dei dubbi sul appartenenza del polinomio nullo ad S (so che è di grado $-infty$ )
Mi confermate o smentite che $0inS$?così riesco ad andare avanti con l'esercizio
Grazie in anticipo
$ varphi _1:finS->f(1)inZ_3 $ e $ varphi _2:finS->f(2)inZ_3 $
Sono surriettive?
io mi trovo di si entrambe..Però ho dei dubbi sul appartenenza del polinomio nullo ad S (so che è di grado $-infty$ )
Mi confermate o smentite che $0inS$?così riesco ad andare avanti con l'esercizio
Grazie in anticipo
Risposte
A seconda delle convezioni il polinomio nullo puo' essere un polinomio di grado $-1$, di grado $-\infty$ o talvolta non ci si preoccupa di dare un grado al polinomio nullo: e' del tutto arbitrario e non crea grossi problemi nella teoria.
Nel tuo caso immagino che chi ha scritto l'esercizio voglia di $0$ sia considerato come un elemento di $S$.
Tuttavia, se $0 \notin S$, cosa potresti dire della suriettivita' di quelle due funzioni?
Nel tuo caso immagino che chi ha scritto l'esercizio voglia di $0$ sia considerato come un elemento di $S$.
Tuttavia, se $0 \notin S$, cosa potresti dire della suriettivita' di quelle due funzioni?
"Pappappero":
Tuttavia, se $0 \not\in S$, cosa potresti dire della suriettivita' di quelle due funzioni?
Se così fosse allora le funzioni non sarebbero surriettive perchè non esisterà l'antimmagine di $0inZ_3$
($0inZ_3$ è ottenibile solo mediante il polinomio nullo)..giusto?
Qual e' l'immagine di $x-1$ attraverso $\varphi_1$?
"Pappappero":
Qual e' l'immagine di $x-1$ attraverso $\varphi_1$?
è $0$ ..pertanto le funzioni sarebbero comunque surriettive in ogni caso ..(indipendentemente dal polinomio nullo)
Grazie per la delucidazione
Ora dovrei calcolare Espicitamente l'antimmagine di $0$ mediante la prima funzione ..vorrei poter scrivere che è l'insieme cercato è questo
${finS:f=ax^3+bx^2+cx+d\ con\ a+b+c+d=0\ ,a,b,c,dinZ_3}$
come faccio ad esplicitare tutti i possibili polinomi in maniera veloce ?sono 81 polinomi possibili in $Z_3[x]$ con grado al più 3 giusto
?
${finS:f=ax^3+bx^2+cx+d\ con\ a+b+c+d=0\ ,a,b,c,dinZ_3}$
come faccio ad esplicitare tutti i possibili polinomi in maniera veloce ?sono 81 polinomi possibili in $Z_3[x]$ con grado al più 3 giusto
?
Esplicitarli cosa significa? Vuoi elencarli tutti? Sono tantini, sapresti dire quanti? (concordo che tutti quanti in $\mathbb{Z}_3[x]$ sono $81$; quanti sono quelli che soddisfano la condizione $a+b+c+d = 0$?)
Per caratterizzare questi polinomi ulteriormente, prova a pensare a cosa ti dice il Teorema di Ruffini.
Per caratterizzare questi polinomi ulteriormente, prova a pensare a cosa ti dice il Teorema di Ruffini.
"Pappappero":
Esplicitarli cosa significa? Vuoi elencarli tutti? Sono tantini, sapresti dire quanti? (concordo che tutti quanti in $\mathbb{Z}_3[x]$ sono $81$; quanti sono quelli che soddisfano la condizione $a+b+c+d = 0$?)
Per caratterizzare questi polinomi ulteriormente, prova a pensare a cosa ti dice il Teorema di Ruffini.
Mi chiede di scrivere in modo esplicito le antimmagini $A=f1^-1({0})$ e calcolarne la cardinalità
seguendo il tuo suggerimento con il teorema di Ruffini mi trovo che ($1$ deve essere radice):
$A={p\inS\ :\ p=(x-1)(ax^2+bx+c)\ con\ a,b,cinZ_3}$ e
$|A|=27$ è corretto?
Corretto!
"Pappappero":
Corretto!
grazie mille !
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