Applicazione in $Z_n$
Buon pomeriggio! Ho questo esercizio:
Per il punto 1), ho fatto così:
se $[x]_10 = [y]_10 Rightarrow 10 | x-y$, allora : $20 | lambda(x^2 +y^2) = lambda(x+y)(x-y) Rightarrow 2|lambda(x+y)$
Dunque, $2 |lambda or 2|x+y$
Giusto? C'è qualche errore? Come posso togliere la seconda condizione?
Ora, se $2|lambda$, allora $exists a in Z : lambda = 2a$, allora se $20|2a(x+y)(x-y) Rightarrow 10|a(x+y(x-y) Rightarrow 10|a or 10|x+y or 10|x-y$
Come posso procedere?
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Per il punto 1), ho fatto così:
se $[x]_10 = [y]_10 Rightarrow 10 | x-y$, allora : $20 | lambda(x^2 +y^2) = lambda(x+y)(x-y) Rightarrow 2|lambda(x+y)$
Dunque, $2 |lambda or 2|x+y$
Giusto? C'è qualche errore? Come posso togliere la seconda condizione?
Ora, se $2|lambda$, allora $exists a in Z : lambda = 2a$, allora se $20|2a(x+y)(x-y) Rightarrow 10|a(x+y(x-y) Rightarrow 10|a or 10|x+y or 10|x-y$
Come posso procedere?
Risposte
A noi basta sapere quando $2\ | \lambda$ in modo che sia sempre ben definita e concludere $\lambda=2k$ con $k \in \mathbb{Z}$.
A noi hanno detto che, una volta trovato che $2|lambda$, dobbiamo tornare "indietro", cioè mostrare che tale condizione è anche sufficiente...
Infatti errore mio...
Poiché $10\ |\ x-y$ vuol dire che $x-y$ è pari questo implica che $x,y$ o sono entrambi pari o sono entrambi dispari in tutte i due i casi $x+y$ è pari e quindi $20| (x-y)(x+y)$ indipendentemente da $\lambda$. Questo implica che vale per ogni $\lambda \ in ZZ$
Poiché $10\ |\ x-y$ vuol dire che $x-y$ è pari questo implica che $x,y$ o sono entrambi pari o sono entrambi dispari in tutte i due i casi $x+y$ è pari e quindi $20| (x-y)(x+y)$ indipendentemente da $\lambda$. Questo implica che vale per ogni $\lambda \ in ZZ$
Quindi, la risposta finale è che l'applicazione è definita per ogni $lambda in Z$?
Yes
Ma la condizione che ho trovato all'inizio, $2|lambda$ dovrebbe essere necessaria... o no? Altrimenti non funzionerebbe l'implicazione necessaria...
È sufficiente non necessaria
Se $2\ |\ \lambda$ allora è ben definita, tuttavia se non è divisibile per 2 è ben definita lo stesso come abbiamo visto.
Se $2\ |\ \lambda$ allora è ben definita, tuttavia se non è divisibile per 2 è ben definita lo stesso come abbiamo visto.
Ok! Benissimo! Avevo sbagliato l'implicazione...
Ora, come si può procedere per il punto 2?
Ora, come si può procedere per il punto 2?
Devi verificare che
$\psi_{\lambda}(x)+\psi_{\lambda}(x')=[\lambda x^2]_{20}+[\lambda x'^2]_{20}=\psi_{\lambda}(x+x')=[\lambda (x+x')^2]_{20}$
Ovvero che $20\ |\ \lambda [(x+x')^2-x^2-x'^2]=2\lambda x x'$ da cui $10\ |\ \lambda$ e questa è una condizione sufficiente ma anche necessaria infatti se 10 non divide $\lambda$ possiamo trovare $x,x'$ tali da non verificare l'uguaglianza.
$\psi_{\lambda}(x)+\psi_{\lambda}(x')=[\lambda x^2]_{20}+[\lambda x'^2]_{20}=\psi_{\lambda}(x+x')=[\lambda (x+x')^2]_{20}$
Ovvero che $20\ |\ \lambda [(x+x')^2-x^2-x'^2]=2\lambda x x'$ da cui $10\ |\ \lambda$ e questa è una condizione sufficiente ma anche necessaria infatti se 10 non divide $\lambda$ possiamo trovare $x,x'$ tali da non verificare l'uguaglianza.
Cioè, ad esempio, suppongo che $10$ non divide $lambda$ e prendo $x=2$ e $x$'$=3$.
Ottengo: $[4lambda]_(20) +[9lambda]_(20) = [13lambda]_(20) = [lambda(5)^2]_(20)$, ossia $[13lambda]_(20) = [25lambda]_(20)$, da cui $20 | 12lambda Rightarrow 10|6lambda Rightarrow 10|lambda$ assurdo.
Ottengo: $[4lambda]_(20) +[9lambda]_(20) = [13lambda]_(20) = [lambda(5)^2]_(20)$, ossia $[13lambda]_(20) = [25lambda]_(20)$, da cui $20 | 12lambda Rightarrow 10|6lambda Rightarrow 10|lambda$ assurdo.
Esatto
Ho capito.
Quindi, ora per rispondere alla terza domanda del quesito, mi basta verificare la definizione di omomorfismo solo per il prodotto. Giusto?
Quindi, ora per rispondere alla terza domanda del quesito, mi basta verificare la definizione di omomorfismo solo per il prodotto. Giusto?
Sì
Quindi, ho:
$[lambda x^2]_(20) * [lambda y^2]_(20) = [lambda(xy)^2]_(20) Rightarrow [lambda^2 (xy)^2]_(20) = [lambda(xy)^2]_(20) Rightarrow 20 | (lambda^2 -lambda)(xy)^2 Rightarrow 20 |lambda or 20|(lambda -1) $
Corretto? E poi come posso procedere?
$[lambda x^2]_(20) * [lambda y^2]_(20) = [lambda(xy)^2]_(20) Rightarrow [lambda^2 (xy)^2]_(20) = [lambda(xy)^2]_(20) Rightarrow 20 | (lambda^2 -lambda)(xy)^2 Rightarrow 20 |lambda or 20|(lambda -1) $
Corretto? E poi come posso procedere?
Quindi concludi che $\lambda=20k$ o $\lambda=1+20k$ ma non solo....può accadere che $5$ divide $λ$ e 4 divide $λ-1$ e viceversa
Non ho capito la tua osservazione su 5 e 4... 
$20=4 \cdot 5|λ(λ-1)$ che implica le possibilità che ti scritto prima inoltre $(λ,λ-1)=1$ quindi non può succedere che 2 divide λ e λ-1
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