Applicazione del lemma di Artin
Ciao a tutti.
Mi trovo alle prese con la seguente applicazione del teorema di Artin: siano [tex]K[/tex] un campo e [tex]G\subset\text{Aut}(K)[/tex] un gruppo finito. Poniamo [tex]F=\mathcal{F}(G)[/tex]: allora [tex]\vert\text{Gal}(K/F)\vert=[K][/tex] e [tex]G=\text{Gal}(K/F)[/tex].
In spoiler alcune definizioni/notazioni:
Affermo che, se [tex]G[/tex] è un generico gruppo finito, allora [tex]G[/tex] è gruppo di Galois per qualche estensione di Galois.
DIM: per il teorema di Cayley, so che [tex]G[/tex] è isomorfo a un sottogruppo di [tex]S_n[/tex], per qualche naturale [tex]n[/tex]. Sia [tex]k[/tex] un campo; pongo [tex]K:=k(x_1,\dots,x_n)[/tex]. Sia [tex]\sigma\in S_n[/tex]: pongo [tex]\sigma(x_i)=x_{\sigma(i)}[/tex]; estendo [tex]\sigma[/tex] a funzione da [tex]K[/tex] in se stesso definendo:
[tex]\sigma\left(\frac{f(x_1,\dots,x_n)}{g(x_1,\dots,x_n)}\right):=\frac{f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})}{g(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})}[/tex]
Si verifica (lascio la verifica a qualche prode a cui piacciono i conti
) che [tex]\sigma[/tex] è un automorfismo di [tex]K[/tex]. Ora, con abuso di notazione posso scrivere che [tex]G\leq\text{Aut}(K)[/tex]; pongo [tex]F:=\mathcal{F}(G)[/tex]: allora, per Artin, [tex]\vert\text{Gal}(K/F)\vert=[K][/tex], quindi [tex]K/F[/tex] è di Galois (*) e [tex]G[/tex] ne è il gruppo di Galois.
È corretto questo ragionamento? A me non torna il fatto che [tex]K/F[/tex] sia finita.
( *) c'è un simpatico corollario di Artin che afferma che, presa [tex]K/F[/tex] finita, allora [tex]K/F[/tex] è di Galois se e solo se [tex]\vert\text{Gal}(K/F)\vert=[K][/tex]
Mi trovo alle prese con la seguente applicazione del teorema di Artin: siano [tex]K[/tex] un campo e [tex]G\subset\text{Aut}(K)[/tex] un gruppo finito. Poniamo [tex]F=\mathcal{F}(G)[/tex]: allora [tex]\vert\text{Gal}(K/F)\vert=[K][/tex] e [tex]G=\text{Gal}(K/F)[/tex].
In spoiler alcune definizioni/notazioni:
Affermo che, se [tex]G[/tex] è un generico gruppo finito, allora [tex]G[/tex] è gruppo di Galois per qualche estensione di Galois.
DIM: per il teorema di Cayley, so che [tex]G[/tex] è isomorfo a un sottogruppo di [tex]S_n[/tex], per qualche naturale [tex]n[/tex]. Sia [tex]k[/tex] un campo; pongo [tex]K:=k(x_1,\dots,x_n)[/tex]. Sia [tex]\sigma\in S_n[/tex]: pongo [tex]\sigma(x_i)=x_{\sigma(i)}[/tex]; estendo [tex]\sigma[/tex] a funzione da [tex]K[/tex] in se stesso definendo:
[tex]\sigma\left(\frac{f(x_1,\dots,x_n)}{g(x_1,\dots,x_n)}\right):=\frac{f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})}{g(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})}[/tex]
Si verifica (lascio la verifica a qualche prode a cui piacciono i conti
) che [tex]\sigma[/tex] è un automorfismo di [tex]K[/tex]. Ora, con abuso di notazione posso scrivere che [tex]G\leq\text{Aut}(K)[/tex]; pongo [tex]F:=\mathcal{F}(G)[/tex]: allora, per Artin, [tex]\vert\text{Gal}(K/F)\vert=[K][/tex], quindi [tex]K/F[/tex] è di Galois (*) e [tex]G[/tex] ne è il gruppo di Galois.È corretto questo ragionamento? A me non torna il fatto che [tex]K/F[/tex] sia finita.
( *) c'è un simpatico corollario di Artin che afferma che, presa [tex]K/F[/tex] finita, allora [tex]K/F[/tex] è di Galois se e solo se [tex]\vert\text{Gal}(K/F)\vert=[K][/tex]
Risposte
Sì torna. Hai preso [tex]G \le \text{Aut}(K)[/tex] e questo è un gruppo finito per ipotesi. Se [tex]F := \mathcal{F}(G)[/tex], allora il teorema da te citato è formulato correttamente dicendo che [tex][K] = |G|[/tex]. Ora da questa identità segue che:
i) l'estensione è finita;
ii) il numero degli [tex]F[/tex]-automorfismi di [tex]K[/tex] è esattamente pari al grado di [tex]K[/tex] su [tex]F[/tex].
Ora, per definizione segue che [tex]K/F[/tex] è di Galois (per come l'ho fatta io, un'estensione è di Galois se vale l'uguaglianza precedente; poi si dimostrano tutte le proprietà di normalità e si fa vedere che è un'estensione è di Galois se e solo se è campo di spezzamento di un polinomio separabile). Inoltre, sempre per definizione, il gruppo di Galois dell'estensione è l'insieme degli [tex]F[/tex]-automorfismi di [tex]K[/tex] e questi sono esattamente [tex]G[/tex].
Naturalmente ho assunto che le [tex]x_i[/tex] siano indeterminate algebricamente indipendenti, altrimenti non potresti supporre che [tex]\mathcal{S}_n[/tex] sia contenuto nel gruppo degli automorfismi di [tex]K[/tex].
i) l'estensione è finita;
ii) il numero degli [tex]F[/tex]-automorfismi di [tex]K[/tex] è esattamente pari al grado di [tex]K[/tex] su [tex]F[/tex].
Ora, per definizione segue che [tex]K/F[/tex] è di Galois (per come l'ho fatta io, un'estensione è di Galois se vale l'uguaglianza precedente; poi si dimostrano tutte le proprietà di normalità e si fa vedere che è un'estensione è di Galois se e solo se è campo di spezzamento di un polinomio separabile). Inoltre, sempre per definizione, il gruppo di Galois dell'estensione è l'insieme degli [tex]F[/tex]-automorfismi di [tex]K[/tex] e questi sono esattamente [tex]G[/tex].
Naturalmente ho assunto che le [tex]x_i[/tex] siano indeterminate algebricamente indipendenti, altrimenti non potresti supporre che [tex]\mathcal{S}_n[/tex] sia contenuto nel gruppo degli automorfismi di [tex]K[/tex].
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