Applicazione con relazione di ordine

[Leonardo202]

Scusate ragazzi sto studiando le relazioni d'ordine..
e non riesco a capire questa cosa:
Siano S,T insiemi diversi dal vuoto e supponiamo che in T sia definita una relazione d'ordine <= e che esista

F:S------>T(applicazione)
allora se considero la seguente relazione in S
che per ogni x,y appartenente ad S
x<=y se e solo se
1)x=y
oppure
2)f(x) essa è una relazione d ordine tramite l applicazione
ma cosa vuol dire tutto questo.. potete spiegarmelo in parole semplici..
grazie mille

[Leonardo202]

io attendo sempre una risposta..
bho..

[Martino]

La seguente relazione:

(*) [tex]x \sim y[/tex] se e solo se [tex]f(x) \leq f(y)[/tex]

non è una relazione d'ordine a meno che [tex]f[/tex] non sia iniettiva.

Per esempio se prendi [tex]f(x)=x^2[/tex] definita su [tex]\mathbb{R}[/tex], si ha [tex]1 \sim -1[/tex] e [tex]-1 \sim 1[/tex] ma [tex]1 \neq -1[/tex]. Quindi in questo caso [tex]\sim[/tex] non è antisimmetrica.

In generale se [tex]f[/tex] non è iniettiva allora la relazione (*) non è antisimmetrica. In particolare, non è una relazione d'ordine.

[Leonardo202]

scusa ma quello che hai scritto è errato
è una relazione d ordine se x=y oppure f(x) < f(y)
perchè dici che non lo è??
sta scritto su tutti i libri di algebra..

[Richard_Dedekind]

"Leonardo20":scusa ma quello che hai scritto è errato
è una relazione d ordine se x=y oppure f(x) < f(y)
perchè dici che non lo è??
sta scritto su tutti i libri di algebra..

Leggi con attenzione: lui sta parlando della relazione

[tex]x\sim y \iff f(x)\leq f(y)[/tex]

mentre tu stai parlando di

[tex]x\sim y \iff x=y\; \vee\; f(x)

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[Leonardo202]

e ho capito ma quella che dico io va bene?

[Martino]

Ehm... ma hai letto quello che ho scritto?

Prendiamo una funzione [tex]f:X \to Y[/tex], dove [tex]Y[/tex] e' dotato di una relazione d'ordine [tex]\leq[/tex].

Consideriamo le seguenti due relazioni su [tex]X[/tex]:

(1) [tex]x \sim_1 y[/tex] se e solo se [tex]x=y[/tex] oppure [tex]f(x) < f(y)[/tex].

(2) [tex]x \sim_2 y[/tex] se e solo se [tex]f(x) \leq f(y)[/tex].

Queste sono due relazioni diverse.

Bene.

Ora, la relazione (1) è una relazione d'ordine (è riflessiva, antisimmetrica e transitiva).
La relazione (2) in generale non è una relazione d'ordine (in generale non è antisimmetrica).

[Leonardo202]

e ho capito ma prendi la prima relazione
la relazione che sta sulle immagine dev essere stretta o puo essere anche larga?

[Martino]

Dev'essere stretta, se vuoi che la relazione risultante sia d'ordine.

Considera queste due relazioni:

(1) [tex]x \sim_1 y[/tex] se e solo se [tex]x=y[/tex] oppure [tex]f(x) < f(y)[/tex].

(2) [tex]x \sim_2 y[/tex] se e solo se [tex]x=y[/tex] oppure [tex]f(x) \leq f(y)[/tex].

Queste due relazioni sono diverse.

La relazione (2) in generale non è antisimmetrica. Un controesempio e' lo stesso che ti ho fatto prima con [tex]f(x)=x^2[/tex]. Infatti [tex]1 \sim_2 -1[/tex] e [tex]-1 \sim_2 1[/tex] ma [tex]1 \neq -1[/tex].

[Leonardo202]

ok questo volevo sapere quindi mi confermi che la relazione sulle immagini dev essere d'ordine stretta giusto?

[Martino]

Ripeto: la relazione

(1) [tex]x \sim_1 y[/tex] se e solo se [tex]x=y[/tex] oppure [tex]f(x) < f(y)[/tex]

è una relazione d'ordine.

La relazione

(2) [tex]x \sim_2 y[/tex] se e solo se [tex]x=y[/tex] oppure [tex]f(x) \leq f(y)[/tex]

non è una relazione d'ordine a meno che [tex]f[/tex] non sia iniettiva.

[Leonardo202]

e io ti ripeto la relazione sulle immagini della numero 1
dev essere per forza una relazione d ordine stretto??
mi serve un si o un no..
e poi un altra cosa perchè si parla in T (codominio ) di una relazione d ordine larga <=??che c entra questo??

[Martino]

E io ti ripeto che la (1) è una relazione d'ordine, la (2) no.

Cosa vuol dire "dev'essere per forza una relazione d'ordine stretto"? Per forza per cosa? Non capisco la domanda.

Se la metti di ordine largo ottieni la relazione (2), che è una relazione che esiste tranquillamente, solo che non è d'ordine.

Ti faccio osservare che non ti stai minimamente impegnando per capire le risposte che ti vengono date. Ti invito a riflettere bene prima di replicare, e magari rileggiti tutto quanto è stato scritto finora. Non puoi pretendere di capire solo leggendo di fretta. Ti avviso: se non seguirai questo consiglio e continuerai con la tua condotta chiuderò questo argomento.

Ciao.

[Leonardo202]

ok ho capito quindi la prima è una relazione d ordine
ma non ho capito per quale motivo in Y si parla di relazione d ordine
Y inteso come codomiinio..
cioè a che pro in Y dev esistere una relazione d ordine larga??
grazie

[Leonardo202]

"Martino":Ehm... ma hai letto quello che ho scritto?

Prendiamo una funzione [tex]f:X \to Y[/tex], dove [tex]Y[/tex] e' dotato di una relazione d'ordine [tex]\leq[/tex].

Consideriamo le seguenti due relazioni su [tex]X[/tex]:

(1) [tex]x \sim_1 y[/tex] se e solo se [tex]x=y[/tex] oppure [tex]f(x) < f(y)[/tex].

(2) [tex]x \sim_2 y[/tex] se e solo se [tex]f(x) \leq f(y)[/tex].

Queste sono due relazioni diverse.

Bene.

Ora, la relazione (1) è una relazione d'ordine (è riflessiva, antisimmetrica e transitiva).
La relazione (2) in generale non è una relazione d'ordine (in generale non è antisimmetrica).

mi riferisco a questa..

[Martino]

Deve esistere, altrimenti la scrittura [tex]f(x) \leq f(y)[/tex] non avrebbe senso. Questa [tex]\leq[/tex] è esattamente la relazione d'ordine che c'è in [tex]Y[/tex].

[Leonardo202]

ma scusami tanto la scrittura nella prima è
f(x) f(x)<=f(y) sono due cose diverse..

[Leonardo202]

Sia una funzione [tex]f:X \to Y[/tex], dove [tex]Y[/tex] e' dotato di una relazione d'ordine [tex]\leq[/tex].

Consideriamo la seguente relazioni su [tex]X[/tex]:

(1) [tex]x \sim_1 y[/tex] se e solo se [tex]x=y[/tex] oppure [tex]f(x) < f(y)[/tex].

allora la 1 è una relazione d ordine



e la definizione della mia prof è solo questa..
perchè si parla di relazione larga nell enunciato mentre in realta sulle immagini si ha solo una relazione stretta?

[Martino]

Ad ogni relazione d'ordine largo corrisponde canonicamente una relazione d'ordine stretto: se [tex](A,\leq)[/tex] è un insieme parzialmente ordinato si definisce la relazione [tex]<[/tex] su [tex]A[/tex] come segue:

[tex]x < y[/tex] se e solo se [tex]x \leq y[/tex] e [tex]x \neq y[/tex].

Questa è una relazione d'ordine stretto (è cioè antisimmetrica e transitiva).

Se c'è una relazione d'ordine largo [tex]\leq[/tex], quando si parla di [tex]<[/tex] si intende quella che ti ho appena definito.

[Leonardo202]

ah ok quindi diciamo la relazione stretta sulle immagini si puo definire poichè enunciamo e premettiamo che in Y sia presente una relazione d ordine larga..
anche se in realta usiamo la stretta ok..

[Leonardo202]

giusto?