Applicazione con relazione di ordine

[Leonardo202]

Scusate ragazzi sto studiando le relazioni d'ordine..
e non riesco a capire questa cosa:
Siano S,T insiemi diversi dal vuoto e supponiamo che in T sia definita una relazione d'ordine <= e che esista

F:S------>T(applicazione)
allora se considero la seguente relazione in S
che per ogni x,y appartenente ad S
x<=y se e solo se
1)x=y
oppure
2)f(x) essa è una relazione d ordine tramite l applicazione
ma cosa vuol dire tutto questo.. potete spiegarmelo in parole semplici..
grazie mille

[Richard_Dedekind]

Riscriviamolo meglio, perché non mi sembra chiaro. Siano [tex]S,T\neq \varnothing[/tex] insiemi tali che [tex](T,\leq)[/tex] sia parzialmente ordinato. Definiamo una funzione [tex]f:S\longrightarrow T[/tex] e una relazione d'ordine [tex]\preccurlyeq[/tex] su [tex]S[/tex] (diversa da [tex]\leq[/tex], perché su insiemi diversi!) come, [tex]\forall x,y\in S[/tex], [tex]x\preccurlyeq y \iff x=y \vee f(x)\leq f(y)[/tex].
Presta attenzione ai simboli e vedi che la relazione [tex]\preccurlyeq[/tex] su [tex]S[/tex] è definita mediante la relazione [tex]\leq[/tex] su [tex]T[/tex].

[Leonardo202]

questo non riesco proprio a capire..
la relazione è definita in S o in T?
dove è definita?
poi la relazione in f
non dovrebbe essere
x=y
oppure
f(x) dove quel '<' sta come ordine stretto?

[Richard_Dedekind]

Come ti ho già detto, l'insieme che globalmente vai a considerare è [tex](S,\preccurlyeq )[/tex]. L'altro insieme ordinato [tex](T,\leq )[/tex] è soltanto usato per la definizione. Almeno dal testo è così che sembra.

[Leonardo202]

ok ma vedi ho modificato la domanda di sopra..

[Richard_Dedekind]

Non mi pare che cambi gran che. La relazione d'ordine [tex]\preccurlyeq[/tex] è definita su [tex]S[/tex], mentre l'ordine stretto [tex]<[/tex] è relativo all'insieme [tex]T[/tex] (nota infatti che [tex]f(x),f(y)\in T[/tex]).

[Leonardo202]

ma quindi in parole povere tutto questo vuol dire che:
se io ho un applicazione tra due insiemi, la relazione che posso costruire sul primo insieme dove
per ogni x,y appartenenti al primo insieme sono in relazione tra loro se e solo se
x=y oppure f(x) poi un altra cosa quel '<' o '<=' che sta in f(x) < f(y)
sta per generica relazione d'ordine oppure semplicemente per relazione d'ordine usuale del minore stretto?

[Richard_Dedekind]

Per quanto un po' confuso, dovrebbe andar bene. Te lo formalizzo meglio.
Presi due insiemi [tex]A,B[/tex] non vuoti, una relazione d'ordine [tex]\leq _B[/tex] su [tex]B[/tex] ed una funzione [tex]f: A \longrightarrow B[/tex], allora possiamo definire su [tex]A[/tex] la relazione d'ordine seguente:

[tex]\forall a,b\in A\;\;\;a \leq _A b \iff \;\;a=b \;\;\; \mathrm{oppure}\;\;\; f(a) < _B f(b)[/tex]

dove [tex]< _B[/tex] è la relazione d'ordine stretto che si definisce su [tex]B[/tex] mediante l'ordine largo.

Per quanto concerne la tua ultima domanda, dovrebbe essere chiaro da quanto ho scritto che [tex]<[/tex] è solo un simbolo per indicare la relazione d'ordine stretto su [tex]B[/tex], e non l'usuale disuguaglianza sui naturali o sui reali. Penso tu sappia che fra relazioni d'ordine largo e stretto sussiste una semplice bigezione.

[Leonardo202]

si è proprio questo il punto su cui ho dei dubbi..
perchè viene messo anche a=b
non capisco.. e poi xche viene usato l ordine stretto??
non potrebbe essere usato direttamente '<=' ossia l ordine largo??
ti prego aiutami a capire sta cosa non dirmi niente..

[Richard_Dedekind]

Intanto, da dove proviene questa relazione? Infatti l'uso di quell'ordine stretto mi sembra un po' azzardato.

[Leonardo202]

anche se ci fosse una relazione del tipo '<='
perchè c è anche l uguaglianza x=y ??

[Richard_Dedekind]

Be' ma quello mi sembra il meno; non hai mai visto relazioni definite con due condizioni? Ti faccio un esempio.
Su [tex]\mathbb{R}^2[/tex] si definisce la relazione d'ordine [tex]\preccurlyeq[/tex] tale che [tex]\forall (a,b),(c,d)\in \mathbb{R}^2[/tex] [tex](a,b)\preccurlyeq(c,d)\;\iff \; a

Cita

Segnala

[Leonardo202]

eh ma che senso ha definire una relazione a due condizioni in cui c è l uguaglianza che è certamente inclusa in questa:
f(x)<=f(y)
??
ossia
x=y
oppure
f(x)<=f(y)
non è lo stesso che scrivere soltanto
f(x)<=f(y)
??

[Richard_Dedekind]

Assolutamente no. L'uguaglianza [tex]x=y[/tex] è inclusa in [tex]f(x)\leq f(y)[/tex] solo se la funzione [tex]f[/tex] che stai considerando è un isomorfismo d'ordine, il che non appare nelle ipotesi.
Probabilmente tu stai confondendo, inoltre, gli elementi di [tex]S[/tex] con le loro immagini tramite [tex]f[/tex]; fai attenzione, appartengono ad insiemi diversi.

[Leonardo202]

ok ma se io invece come relazione metto
x=y
oppure
f(x) che sarebbe la definizione della mia prof
non significa che la relazione che vado a considerare è di ordine largo
poichè c è una relazione d ordine stretta con uguaglianza?
quindi non dovrebbe essere la stessa cosa che scrivere soltanto
f(x)<=f(y) e basta come condizione?
capisci quello che voglio dire?

[Richard_Dedekind]

No, no, fai attenzione. Sono due relazioni definite su insiemi diversi. L'uguaglianza riguarda gli elementi dell'insieme [tex]S[/tex], l'ordine stretto quelli dell'insieme [tex]T[/tex]. Non si possono unire queste condizioni a meno di non conoscere alcune proprietà forti della funzione [tex]f[/tex].

[Leonardo202]

leggi il mio pm non dirmi niente..

[j18eos]

Ricominciamo:

I) siano [tex]$S;T\neq\emptyset$[/tex];

II) [tex]$(T;\leq)$[/tex] ovvero [tex]$T$[/tex] sia un insieme ordinato (parzialmente o totalmente non interessa);

III) [tex]$f:S\to T$[/tex] un'applicazione;

allora dati [tex]$x;y\in S$[/tex] siano [tex]$x\preceq y$[/tex] se:

a) [tex]$x=y$[/tex] (proprietà riflessiva)

oppure

b) [tex]$x\preceq y\stackrel{d e f .}{\iff}f(x)\leq f(y)$[/tex]

sicché il punto (b), oltre ad (ri)assicurare la proprietà riflessiva della relazione [tex]$\preceq$[/tex] su [tex]$S$[/tex], assicura che tale è una relazione d'ordine su [tex]$S$[/tex].

Seppoi [tex]$f(x)$[/tex] ed [tex]$f(y)$[/tex] non sono confrontabili in [tex]$T$[/tex] secondo la relazione d'ordine [tex]$\leq$[/tex], allora per conseguenza [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex] non sono confrontabili in [tex]$S$[/tex] secondo [tex]$\preceq$[/tex] per definizione.

Ora, se invece dell'ipotesi (b) fai l'ipotesi:

c) [tex]$x\prec y\stackrel{d e f .}{\iff} f(x)
assieme all'ipotesi (a) la relazione [tex]$\prec$[/tex] è di ordine stretto su [tex]$S$[/tex].

Infine, per tutti i fulmini e le saette: cos'hanno di così assurdo, criptico, inenarrabile, trascendentale per l'umana comprensione queste [tex]$4$[/tex] carabattole di algebra elementare, da farti venire le crisi da dannazione eterna?

[Leonardo202]

e possibile che nessuno mi riesce a dire se la relazione tra le immagini dev essere per forza di ordine stretta o puo essere anche larga??
da quello che ho capito una relazione d ordine si ha se
x=y
oppure
f(x) < f(y)
con < relazione d'ordine stretta..
ma se la relazione d'ordine tra le immagini fosse larga cosa accadrebbe??
grazie

[Martino]

"Leonardo20":e possibile che nessuno mi riesce a dire se la relazione tra le immagini dev essere per forza di ordine stretta o puo essere anche larga??

[mod="Martino"]Ti ripeto che niente ti è dovuto. Mantieni la calma.[/mod]

[Leonardo202]

ok basta che mi aiutate a capire questa cosa