Applicazione Biettiva
Salve
è possibile che questa applicazione:
f: $ x in RR + $ -----> $ (3x)^(2) /2 in RR + $
è biettiva e che quindi è possibile costruire la sua inversa??
grazie
è possibile che questa applicazione:
f: $ x in RR + $ -----> $ (3x)^(2) /2 in RR + $
è biettiva e che quindi è possibile costruire la sua inversa??
grazie
Risposte
La funzione data non è altro che una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, con vertice in un punto di ascissa 0 (dunque in realtà l'asse di simmetria è proprio l'asse y). Su tutto $RR$ la parabola non è una funzione iniettiva perchè $f(x)=f(-x)=kx^2$, ma restringendo il dominio ai soli reali positivi la funzione diventa iniettiva. Per la surgettività, basti osservare che il codominio corrisponde con il semiasse positivo delle ordinate: dato infatti y nel codominio, esiste $x=\frac{\sqrt{2y}}{3}$ nel dominio tale che $f(x)=y$. In definitva la funzione è bigettiva, invertibile e con inversa bigettiva.
Una piccola osservazione: se il dominio fosse stato tutto $RR$, la funzione non sarebbe stata iniettiva e dunque non invertibile. Volendo costruire l'inversa graficamente (simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante) avresti ottenuto la parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x (la parabola "sdraiata" per intendersi). Ma questa non è una funzione! Data infatti x nel dominio, si hanno due possibili ordinate per tale ascissa, dunque l'applicazione non è ben definita!
Una piccola osservazione: se il dominio fosse stato tutto $RR$, la funzione non sarebbe stata iniettiva e dunque non invertibile. Volendo costruire l'inversa graficamente (simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante) avresti ottenuto la parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x (la parabola "sdraiata" per intendersi). Ma questa non è una funzione! Data infatti x nel dominio, si hanno due possibili ordinate per tale ascissa, dunque l'applicazione non è ben definita!
si ma algebricamente io come costruisco l'inversa??
non devo semplicemente scambiare il dominio con il codominio??
poi un altra cosa che non c'entra niente:
è vero che se esiste il minimo e massimo in una relazione d'ordine allora l'elemento minimale e massimale di tale relazione ordine è unico??
poichè esistenza di minimo e massimo (che sono unici) implica esistenza di minimale e massimale(quindi anch'essi unici)??
grazie
non devo semplicemente scambiare il dominio con il codominio??
poi un altra cosa che non c'entra niente:
è vero che se esiste il minimo e massimo in una relazione d'ordine allora l'elemento minimale e massimale di tale relazione ordine è unico??
poichè esistenza di minimo e massimo (che sono unici) implica esistenza di minimale e massimale(quindi anch'essi unici)??
grazie
"Leonardo20":[mod="Martino"]Se vuoi parlare di una cosa che non c'entra niente devi aprire un nuovo argomento. Grazie.[/mod]
poi un altra cosa che non c'entra niente:
mi sembrava sprecato aprire un post per una domanda cosi semplice..
"Leonardo20":[mod="Martino"]Non si tratta di sprecare post, ma di andare fuori tema. Non si può andare fuori tema. Grazie.[/mod]
mi sembrava sprecato aprire un post per una domanda cosi semplice..
ok comunque non mi trovo con lquello che hai detto mi riferisco alla risposta di dariuz..
come fai a dire che quell'applicaizone è biettiva??
il numero 10 appartenente al Codominio non è associato a nessun elemento del Dominio..
(ti sto parlando algebricamente)..
come fai a dire che quell'applicaizone è biettiva??
il numero 10 appartenente al Codominio non è associato a nessun elemento del Dominio..
(ti sto parlando algebricamente)..
Dato il dominio $RR^+$ è evidente che quella funzione è iniettiva, e comunque sappiamo che una funzione è iniettiva
se $f(x)=f(y) => x=y$ e nel nostro caso si ha:
$((3x)^2)/2=((3y)^2)/2$
motiplicando a destra e a sinistra per 2, eseguendo il quadrato e dividendo ambo i membri per 9 ottieni che
$x^2=y^2$ da cui $x=y$
per la suriettività basta analizzare la controimmagine $f^-1=sqrt(2y)/3$ che e' unica per ogni elemento del codominio (e perchè
il dominio è limitato all'insieme dei reali positivi).
Quindi la funzione è biunivoca e l'inversa è esattamente la controimmagine $f^-1$
se $f(x)=f(y) => x=y$ e nel nostro caso si ha:
$((3x)^2)/2=((3y)^2)/2$
motiplicando a destra e a sinistra per 2, eseguendo il quadrato e dividendo ambo i membri per 9 ottieni che
$x^2=y^2$ da cui $x=y$
per la suriettività basta analizzare la controimmagine $f^-1=sqrt(2y)/3$ che e' unica per ogni elemento del codominio (e perchè
il dominio è limitato all'insieme dei reali positivi).
Quindi la funzione è biunivoca e l'inversa è esattamente la controimmagine $f^-1$
per piacere mi vuoi far capire per quale x del dominio ottieni l elemento 10 del codominio? senza fare discorsi complicati..
grazie
grazie
$x=1.490711985$
infatti se fai $y=((3*1.490711985)^2)/2=10$
e dato che ci troviamo nell'insieme dei reali, quell'$x$ è più che valido
PS. non sono discorsi complicati, ma necessari....
infatti se fai $y=((3*1.490711985)^2)/2=10$
e dato che ci troviamo nell'insieme dei reali, quell'$x$ è più che valido
PS. non sono discorsi complicati, ma necessari....
ok e ora dimmi una cosa..
come costruisco l'applicazione inversa??
scambia semplicemente il dominio con il codominio??
grazie
come costruisco l'applicazione inversa??
scambia semplicemente il dominio con il codominio??
grazie
Banale.
Se [tex]10[/tex] è nell'immagine, allora [tex]\exists\,x\in \mathrm{dom}\,f[/tex] tale che
[tex]\displaystyle10=\frac{(3x)^2}{2}\Rightarrow 20=(3x)^2\Rightarrow \sqrt{10} =3x\Rightarrow x=\frac{\sqrt{20}}{3}[/tex]
Se [tex]10[/tex] è nell'immagine, allora [tex]\exists\,x\in \mathrm{dom}\,f[/tex] tale che
[tex]\displaystyle10=\frac{(3x)^2}{2}\Rightarrow 20=(3x)^2\Rightarrow \sqrt{10} =3x\Rightarrow x=\frac{\sqrt{20}}{3}[/tex]
E per costruire l'inversa in una espressione del tipo [tex]y=f(x)[/tex] si tratta semplicemente di ricavare la [tex]x[/tex] in funzione della [tex]y[/tex].
quindi questa:
f: $x∈ℝ+ -> (3x)^(2) ∈ℝ+$
la riscrivo cosi:
f: $(3x)^(2) ∈ℝ+ ->x∈ℝ+$
ossia l'inversa??
f: $x∈ℝ+ -> (3x)^(2) ∈ℝ+$
la riscrivo cosi:
f: $(3x)^(2) ∈ℝ+ ->x∈ℝ+$
ossia l'inversa??
Assolutamente no.
La funzione è definita come [tex]f:\mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}_+[/tex] con [tex]f(x)=(3x)^2\,\,\forall x\in\mathbb{R}_+[/tex]. Ora, chiamato [tex]y=f(x)[/tex] per determinare l'inversa occorre scrivere una espressione come [tex]x=g(y)[/tex]. Dunque:
[tex]y=(3x)^2\Rightarrow \sqrt{y}=3x\Rightarrow \displaystyle x=\frac{\sqrt{y}}{3}}[/tex]
La funzione è definita come [tex]f:\mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}_+[/tex] con [tex]f(x)=(3x)^2\,\,\forall x\in\mathbb{R}_+[/tex]. Ora, chiamato [tex]y=f(x)[/tex] per determinare l'inversa occorre scrivere una espressione come [tex]x=g(y)[/tex]. Dunque:
[tex]y=(3x)^2\Rightarrow \sqrt{y}=3x\Rightarrow \displaystyle x=\frac{\sqrt{y}}{3}}[/tex]
Ma no, dai. Se scambi dominio con codominio hai esattamente la stessa funzione.
Per quanto riguarda la controimmagine è definita come $f^-1={a in A | b=f(a)}$ dove $A$ è il dominio della funzione.
In pratica devi verificare che la funzione inversa, cioè ottieni la $x$ partendo dalla $y$, è valida nel dominio/codominio di $f$.
Edit: Richard ha fatto prima
Per quanto riguarda la controimmagine è definita come $f^-1={a in A | b=f(a)}$ dove $A$ è il dominio della funzione.
In pratica devi verificare che la funzione inversa, cioè ottieni la $x$ partendo dalla $y$, è valida nel dominio/codominio di $f$.
Edit: Richard ha fatto prima
quindi in definitiva potreste scrivermi per intero l'applicazione inversa con tanto di dominio e codominio(naturalmente scambiato)??
cosi capisco grazie
cosi capisco grazie
ma scusa ti è stato già detto, cosa altro non è chiaro?
$f=((3x)^2)/2$
$f^-1=(sqrt(2x))/3$
con dominio e codominio che sai.
$f=((3x)^2)/2$
$f^-1=(sqrt(2x))/3$
con dominio e codominio che sai.
quindi questa:
f: $x∈ℝ+ -> (3x)^(2) ∈ℝ+$
e quindi questa di sopra per esteso come diventa..
per piacere non dirmi niente so domande sceme ma rispondimi..
f: $x∈ℝ+ -> (3x)^(2) ∈ℝ+$
e quindi questa di sopra per esteso come diventa..
per piacere non dirmi niente so domande sceme ma rispondimi..
Oddio, ma te l'ho detto prima.
Questa è la funzione:
[tex]f:\mathbb{R}_+\longrightarrow \mathbb{R}_+[/tex]
con [tex]x\mapsto\displaystyle (3x)^2\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}_+[/tex]
e questa la sua inversa
[tex]f^{-1}:\mathbb{R}_+\longrightarrow \mathbb{R}_+[/tex]
con [tex]y\mapsto \displaystyle \frac{\sqrt{y}}{3}\,\,\,\forall y\in \mathbb{R}_+[/tex]
PS. Scusa, Gundam, ci siamo sovrapposti !
Questa è la funzione:
[tex]f:\mathbb{R}_+\longrightarrow \mathbb{R}_+[/tex]
con [tex]x\mapsto\displaystyle (3x)^2\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}_+[/tex]
e questa la sua inversa
[tex]f^{-1}:\mathbb{R}_+\longrightarrow \mathbb{R}_+[/tex]
con [tex]y\mapsto \displaystyle \frac{\sqrt{y}}{3}\,\,\,\forall y\in \mathbb{R}_+[/tex]
PS. Scusa, Gundam, ci siamo sovrapposti
!
ok ma il dominio ed il codominio in un inversa si scambia giusto??
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