Apparente omissione nell'induzione
Ciao, amici! Studiando il teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt sul Sernesi, Geometria I, noto quello che a prima vista mi sembrerebbe una sorta di omissione logica nel procedimento per induzione completa, un tipo di apparente gap con cui devo dire che non è la prima volta che mi capita di imbattermi in un testo di matematica.
In questo caso si tratta di dimostrare che, data una successione, finita o infinita, di vettori di uno spazio euclideo \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...\in\mathbf{V}\) esiste una successione, rispettivamente dello stesso numero o infinita, di vettori \(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,...\in\mathbf{V}\) tali che per ogni intero \(k\geq 1\) si ha:
a) \(\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\rangle=\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,...,\mathbf{w}_k\rangle\);
b) "\(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,...,\mathbf{w}_k\) sono a due a due ortogonali [citazione testuale]".
Il testo comincia la dimostrazione dicendo: "Costruiremo gli elementi \(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,...\) per induzione su $k$. Prendiamo \(\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1\), che evidentemente soddisfa (a) e (b) per $k=1$. Sia \(t\geq1\) e supponiamo di aver costruito \(\mathbf{w}_1,...,\mathbf{w}_t\) soddisfacenti alle condizioni (a) e (b) per $k=t$. Definiamo \(\mathbf{w}_{t+1}=\mathbf{v}_{t+1}-\sum_{i=1}^{t}'a_{\mathbf{w}_i}(\mathbf{v}_{t+1})\mathbf{w}_i\) [...]" al che si dimostra che per \(t\geq 2\) \(\mathbf{w}_{t}\) soddisfa le condizioni in oggetto.
Ora, mi chiedo come possa \(\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1\) soddisfare la condizione di ortogonalità (b), dato che direi che un vettore solo non possa essere ortogonale a due a due a nulla, visto che non si è preso in esame nessun altro vettore... Naturalmente c'è qualcosa di molto importante che mi sfugge e devo dire che non è la prima volta che trovo dimostrazioni in cui si suppone nel passo induttivo che una certa proprietà valga per oggetti che apparentemente esulano dalla definizione di quella proprietà...
\(\infty\) grazie a tutti!
In questo caso si tratta di dimostrare che, data una successione, finita o infinita, di vettori di uno spazio euclideo \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...\in\mathbf{V}\) esiste una successione, rispettivamente dello stesso numero o infinita, di vettori \(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,...\in\mathbf{V}\) tali che per ogni intero \(k\geq 1\) si ha:
a) \(\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\rangle=\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,...,\mathbf{w}_k\rangle\);
b) "\(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,...,\mathbf{w}_k\) sono a due a due ortogonali [citazione testuale]".
Il testo comincia la dimostrazione dicendo: "Costruiremo gli elementi \(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,...\) per induzione su $k$. Prendiamo \(\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1\), che evidentemente soddisfa (a) e (b) per $k=1$. Sia \(t\geq1\) e supponiamo di aver costruito \(\mathbf{w}_1,...,\mathbf{w}_t\) soddisfacenti alle condizioni (a) e (b) per $k=t$. Definiamo \(\mathbf{w}_{t+1}=\mathbf{v}_{t+1}-\sum_{i=1}^{t}'a_{\mathbf{w}_i}(\mathbf{v}_{t+1})\mathbf{w}_i\) [...]" al che si dimostra che per \(t\geq 2\) \(\mathbf{w}_{t}\) soddisfa le condizioni in oggetto.
Ora, mi chiedo come possa \(\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1\) soddisfare la condizione di ortogonalità (b), dato che direi che un vettore solo non possa essere ortogonale a due a due a nulla, visto che non si è preso in esame nessun altro vettore... Naturalmente c'è qualcosa di molto importante che mi sfugge e devo dire che non è la prima volta che trovo dimostrazioni in cui si suppone nel passo induttivo che una certa proprietà valga per oggetti che apparentemente esulano dalla definizione di quella proprietà...
\(\infty\) grazie a tutti!
Risposte
Per $k = 1$ la condizione b) equivale all'implicazione
$\forall x,y \in {v_1}( (x \ne y) => (x$ ortogonale a $y$))
Nella logica classica vale il principio per cui ex falso quodlibet (dal falso segue tutto). L'affermazione $x \ne y$ è sempre falsa (infatti non può che risultare $x=y=v_1$) quindi l'implicazione $(x \ne y) => (x$ ortogonale a $y$) è da ritenersi sempre vera.
http://it.wikipedia.org/wiki/Ex_falso_sequitur_quodlibet
$\forall x,y \in {v_1}( (x \ne y) => (x$ ortogonale a $y$))
Nella logica classica vale il principio per cui ex falso quodlibet (dal falso segue tutto). L'affermazione $x \ne y$ è sempre falsa (infatti non può che risultare $x=y=v_1$) quindi l'implicazione $(x \ne y) => (x$ ortogonale a $y$) è da ritenersi sempre vera.
http://it.wikipedia.org/wiki/Ex_falso_sequitur_quodlibet
Provo a rispondere sperando di chiarire il tuo dubbio (ammesso che la questione sia chiara a me)...
Che vuol dire l'espressione "a due a due ortogonali "? Vuol dire che se prendi $w_i$ e $w_j$ con $i$$ne$$j$ allora $w_i$ e $w_j$ sono ortogonali. Ma se è il sistema è costituito da un unico vettore allora tale vettore soddisfa questa proprietà proprio per il fatto che non ce ne sono altri distinti da lui (con cui poterlo "confrontare").
ps: arrivo sempre tardi...
Che vuol dire l'espressione "a due a due ortogonali "? Vuol dire che se prendi $w_i$ e $w_j$ con $i$$ne$$j$ allora $w_i$ e $w_j$ sono ortogonali. Ma se è il sistema è costituito da un unico vettore allora tale vettore soddisfa questa proprietà proprio per il fatto che non ce ne sono altri distinti da lui (con cui poterlo "confrontare").
ps: arrivo sempre tardi...
OK, ma io forse avrei sprecato una riga di testo per scrivere l'espressione di $w_2$ e sarei partito da $k=2$ 
\(+\infty\) grazie a tutti!!!
Non pensavo di ritrovare il doctor Subtilis in matematica...
Non pensavo di ritrovare il doctor Subtilis in matematica...
"perplesso":
Per $k = 1$ la condizione b) equivale all'implicazione
$\forall x,y \in {v_1}( (x \ne y) => (x$ ortogonale a $y$))
Nella logica classica vale il principio per cui ex falso quodlibet (dal falso segue tutto). L'affermazione $x \ne y$ è sempre falsa (infatti non può che risultare $x=y=v_1$) quindi l'implicazione $(x \ne y) => (x$ ortogonale a $y$) è da ritenersi sempre vera.
Ho riflettuto ancora un po' sulla questione e direi che questo ragionamento si possa generalizzare in questo modo: sia $P$ una proposizione definita solo sugli elementi di un insieme $A$ (come l'essere ortogonali a due a due, definita per vettori in numero maggiore di 1); si definisce allora una proposizione $P'$ (in questo caso particolare "se $x=x_1$ e $y=x_2$ sono vettori appartenenti ad un insieme non vuoto che non sia un singoletto allora sono ortogonali") così:
\(P'(x_1,x_2,...)\iff ({x_1,x_2,...}\subset A\Rightarrow P(x_1,x_2,...)) \)
che, se \({x_1,x_2,...}\not\subset A\), è naturalmente vera. Vi sembra che fili?
Grazie di cuore ancora a tutti!
Non ci ho capito molto. xD Se è proprio necessario forse potresti fare un discorso di questo tipo:
Data un universo $U$ ed una proprietà $P(x,y)$, allora per ogni proposizione $q$ la formula
$\forall (x,y)\in {(z,w) \in U xx U: not P(z,w)} (P(x,y) \rightarrow q)$
è sempre vera. Ma il punto è un'altro. Mi rendo conto che la regola "il falso implica tutto" è MOLTO controintuitiva, ma non vedo l'utilità di cercare formulazioni complicate quando puoi semplicemente tenere a mente il motto latino di cui ti ho parlato. Insomma basta farci l'abitudine.
Data un universo $U$ ed una proprietà $P(x,y)$, allora per ogni proposizione $q$ la formula
$\forall (x,y)\in {(z,w) \in U xx U: not P(z,w)} (P(x,y) \rightarrow q)$
è sempre vera. Ma il punto è un'altro. Mi rendo conto che la regola "il falso implica tutto" è MOLTO controintuitiva, ma non vedo l'utilità di cercare formulazioni complicate quando puoi semplicemente tenere a mente il motto latino di cui ti ho parlato. Insomma basta farci l'abitudine.
Intendo dire: sia $P$ una proposizione (come la proposizione "sono ortogonali a due a due", che direi naturalmente definita solo per insiemi di vettori in quantità maggiore di 1) definita solo sugli elementi di un insieme $A$ (in questo caso $A$ è un generico insieme di vettori -ovviamente appartenenti ad uno spazio vettoriale su cui sia definita una forma bilineare o sesquilineare che giustifichi il concetto di ortogonalità- di cardinalità maggiore di 1).
"Costruiamo" allora una proposizione $P'$ definita anche al di fuori degli insiemi $A$ per cui è definita $P$ nel modo seguente:
\(P'(x_1,x_2,...) = (\{x_1,x_2,...\}\subset A\Rightarrow P(x_1,x_2,...)) \) per qualche $A$ su cui sia definita $P$
(nel nostro caso particolare "se $x_1,x_2,...$ -sopra erano i due $x$ e $y$- sono vettori appartenenti ad un insieme di vettori in quantità maggiore di 1 allora sono ortogonali"). Il punto è che mi sembra necessario costruire questa $P'$ perché $P$ non è definita al di fuori di $A$: nel nostro caso l'ortogonalità a due a due per vettori in quantità strettamente minore di 2.
Ora, nel caso che \(x_1,x_2,...\) appartengano ad un insieme $A$ su cui sia definita $P$ le due proposizioni $P$ e $P'$ dicono la stessa cosa:
\((\forall x_1,x_2,...\in A\text{ }P'(x_1,x_2,...) ) = (\forall x_1,x_2,...\in A\text{ } (\{x_1,x_2,...\}\subset A\Rightarrow P(x_1,x_2,...))) \)
dove, nel nostro caso, sarebbe $P=$"$x_1,x_2,...$ sono vettori ortogonali", $A$ un generico insieme su cui sia definita l'ortogonalità a due a due e $P'=$"se $x_1,x_2,...$ sono vettori appartenenti ad un insieme di vettori in quantità maggiore di 1 allora sono ortogonali".
Se invece, per ogni $A$ su cui sia definita $P$, \(x_1,x_2,... \not\in A\) (nel nostro caso i vettori $x_i$ non appartengono ad un insieme di più di un vettore), per questi $x_i$ la proposizione $P'$ direi che sia
\((x_1,x_2,...\not\in A\wedge P'(x_1,x_2,...) ) = ( x_1,x_2,...\not\in A\wedge ( \{x_1,x_2,...\}\subset A\Rightarrow P(x_1,x_2,...)))\)
che è vera perché \(x_1,x_2,...\not\in A\wedge \{x_1,x_2,...\}\subset A\Rightarrow\) quodlibet.
No?
Grazie di cuore ancora a te, perplesso, e a chiunque altro vorrà contribuire!
"Costruiamo" allora una proposizione $P'$ definita anche al di fuori degli insiemi $A$ per cui è definita $P$ nel modo seguente:
\(P'(x_1,x_2,...) = (\{x_1,x_2,...\}\subset A\Rightarrow P(x_1,x_2,...)) \) per qualche $A$ su cui sia definita $P$
(nel nostro caso particolare "se $x_1,x_2,...$ -sopra erano i due $x$ e $y$- sono vettori appartenenti ad un insieme di vettori in quantità maggiore di 1 allora sono ortogonali"). Il punto è che mi sembra necessario costruire questa $P'$ perché $P$ non è definita al di fuori di $A$: nel nostro caso l'ortogonalità a due a due per vettori in quantità strettamente minore di 2.
Ora, nel caso che \(x_1,x_2,...\) appartengano ad un insieme $A$ su cui sia definita $P$ le due proposizioni $P$ e $P'$ dicono la stessa cosa:
\((\forall x_1,x_2,...\in A\text{ }P'(x_1,x_2,...) ) = (\forall x_1,x_2,...\in A\text{ } (\{x_1,x_2,...\}\subset A\Rightarrow P(x_1,x_2,...))) \)
dove, nel nostro caso, sarebbe $P=$"$x_1,x_2,...$ sono vettori ortogonali", $A$ un generico insieme su cui sia definita l'ortogonalità a due a due e $P'=$"se $x_1,x_2,...$ sono vettori appartenenti ad un insieme di vettori in quantità maggiore di 1 allora sono ortogonali".
Se invece, per ogni $A$ su cui sia definita $P$, \(x_1,x_2,... \not\in A\) (nel nostro caso i vettori $x_i$ non appartengono ad un insieme di più di un vettore), per questi $x_i$ la proposizione $P'$ direi che sia
\((x_1,x_2,...\not\in A\wedge P'(x_1,x_2,...) ) = ( x_1,x_2,...\not\in A\wedge ( \{x_1,x_2,...\}\subset A\Rightarrow P(x_1,x_2,...)))\)
che è vera perché \(x_1,x_2,...\not\in A\wedge \{x_1,x_2,...\}\subset A\Rightarrow\) quodlibet.
No?
Grazie di cuore ancora a te, perplesso, e a chiunque altro vorrà contribuire!
"DavideGenova":
Il punto è che mi sembra necessario costruire questa P′ perché P non è definita al di fuori di A: nel nostro caso l'ortogonalità a due a due per vettori in quantità strettamente minore di 2
ma perchè? Io potrei perfino dire "Sia $V$ uno spazio vettoriale. I vettori che appartengono all'insieme vuoto sono a due a due ortogonali", questa affermazione è corretta e sensata!! Perchè? Perchè nessun vettore appartiene all'insieme vuoto. Quindi ti fai un problema inesistente. Se una proprietà $P$ è definita sugli elementi di un universo $U$ allora è definita in tutti i sottouniversi di $U$.
Nel caso specifico i predicati $P(x,y) := (x \ne y)$
$Q(x,y) :=$ "$x$ è ortogonale a $y$"
sono definiti per ogni elemento dello spazio vettoriale in questione, mentre l'espressione "a due a due" l'abbiamo tradotta con una implicazione $P \rightarrow Q$.
P.S. cmq se io fossi in te, per evitare di aggrovigliarmi in questioni di logica matematica (che non credo siano interessanti per lo studio dell'algebra lineare... ), seguirei l'ottimo consiglio di retrocomputer
Grazie di cuore per la pazienza... Riusciresti a svegliare i cittadini di Idiocracy (retrocomputer, se passa di nuovo di qua, sa di che cosa sto parlando...)... 
Probabilmente pasticciando con la mia $P'$ intendevo quello che tu intendi con il predicato $P\to Q$. Uso qui di seguito le lettere che hai usato tu per i predicati, utilizzandoli però come predicati che abbiano per argomento gli interi non negativi che si usano nell'induzione.
Quando nel primo messaggio dicevo che noto che in alcune dimostrazioni per induzione "si suppone nel passo induttivo che una certa proprietà valga per oggetti che apparentemente esulano dalla definizione di quella proprietà" mi riferivo ad oggetti tali che, se \(k< n\) per un certo $n$ (in questo caso era 2), $Q(k)$ non è definita (mentre per \(k\geq n\) lo è). L'apparente esulazione direi che è risolta perché in questo genere di dimostrazioni non si intende che gli oggetti in esame (come qua era il vettore in \(\{\mathbf{w}_1\}\)) soddisfino quel $Q$, ma si intende che soddisfano il predicato \(P\to Q\) con \(P(k)=(k\geq n)\) dove $n$ è appunto l'intero a partire dal quale $Q$ ha senso (analogamente al nostro caso particolare dove $P$ comporta che ci siano almeno due \(\mathbf{w}_i\)* con indici distinti 1 e 2).
E, come mi hai fatto notare richiamandomi la filosofia scolastica (eh, sì, ci sballo un po' con queste cose...
), se \(k
*[size=85]Non necessariamente distinti direi, a differenza degli indici di \(\mathbf{w}_i\) e \(\mathbf{w}_j\), perché se \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\) fossero tutti multipli scalari di uno tra essi l'ortogonalizzazione ci porterebbe a \((\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3)=(\mathbf{v}_1,\mathbf{0},\mathbf{0})\) che è un insieme di vettori tutti ortogonali a due a due (anche \(\mathbf{w}_2\perp\mathbf{w}_3\) ).[/size]
Probabilmente pasticciando con la mia $P'$ intendevo quello che tu intendi con il predicato $P\to Q$. Uso qui di seguito le lettere che hai usato tu per i predicati, utilizzandoli però come predicati che abbiano per argomento gli interi non negativi che si usano nell'induzione.
Quando nel primo messaggio dicevo che noto che in alcune dimostrazioni per induzione "si suppone nel passo induttivo che una certa proprietà valga per oggetti che apparentemente esulano dalla definizione di quella proprietà" mi riferivo ad oggetti tali che, se \(k< n\) per un certo $n$ (in questo caso era 2), $Q(k)$ non è definita (mentre per \(k\geq n\) lo è). L'apparente esulazione direi che è risolta perché in questo genere di dimostrazioni non si intende che gli oggetti in esame (come qua era il vettore in \(\{\mathbf{w}_1\}\)) soddisfino quel $Q$, ma si intende che soddisfano il predicato \(P\to Q\) con \(P(k)=(k\geq n)\) dove $n$ è appunto l'intero a partire dal quale $Q$ ha senso (analogamente al nostro caso particolare dove $P$ comporta che ci siano almeno due \(\mathbf{w}_i\)* con indici distinti 1 e 2).
E, come mi hai fatto notare richiamandomi la filosofia scolastica (eh, sì, ci sballo un po' con queste cose...
), se \(k*[size=85]Non necessariamente distinti direi, a differenza degli indici di \(\mathbf{w}_i\) e \(\mathbf{w}_j\), perché se \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\) fossero tutti multipli scalari di uno tra essi l'ortogonalizzazione ci porterebbe a \((\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3)=(\mathbf{v}_1,\mathbf{0},\mathbf{0})\) che è un insieme di vettori tutti ortogonali a due a due (anche \(\mathbf{w}_2\perp\mathbf{w}_3\) ).[/size]
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