Aperti sotto chiusura

[Norbertus]

E' vero che:
Se G è un gruppo topologico e B è un suo sottogruppo denso, e A è aperto in B, allora la chiusura di A è aperta in G
?

[beltzer]

Falso.
Prendi [tex]G=\mathbb{R}[/tex], [tex]B=\mathbb{Q}[/tex], [tex]A=(0,1)\bigcap\mathbb{Q}[/tex]
[tex]B[/tex] è denso in [tex]G[/tex], [tex]A[/tex] è aperto in [tex]B[/tex], ma [tex]\overline{A}=[0,1][/tex] non è aperta in [tex]G[/tex]

[Norbertus]

Bene. E se A fosse anche sottogruppo di B?

[Norbertus]

Forse non è nemmeno necessario che B sia sottogruppo di X, basta che lo sia A.

[beltzer]

Ci ho pensato un pò e non mi viene in mente niente, un suggerimento?

[vict85]

Topologicamente parlando la chiusura è un chiuso. Quindi ti troveresti un insieme che è sia aperto che chiuso. Una condizione di questo tipo è piuttosto forte all'interno di uno spazio topologico (implica che lo spazio topologico non è connesso). Pertanto, seppur non abbia approfondito molto l'argomento, penso che sia improbabile che la tua condizione sia verificata.

D'altra parte esiste sicuramente un aperto la cui intersezione con \(B\) sia \(A\). Ma in genere non coincide con la chiusura di \(A\).

[Norbertus]

Quando si ha a che fare con gruppi e sottogruppi non è raro che aperti siano anche chiusi! Un sottogruppo aperto è sempre anche chiuso e un sottogruppo chiuso è anche aperto quando il suo interno è non vuoto.
Come hai detto tu $A$ è aperto in $B$ se $A = B\cap U$ con $U$ aperto di $X$, e questo è un punto di partenza

[beltzer]

"Norbertus":Quando si ha a che fare con gruppi e sottogruppi non è raro che aperti siano anche chiusi! Un sottogruppo aperto è sempre anche chiuso e un sottogruppo chiuso è anche aperto quando il suo interno è non vuoto.
Come hai detto tu $ A $ è aperto in $ B $ se $ A = B\cap U $ con $ U $ aperto di $ X $, e questo è un punto di partenza

No, non mi torna.
Considera [tex]G=\mathbb{R}/{0}[/tex] come gruppo moltiplicativo.
il sottogruppo [tex]A=G\cap[-1,1][/tex] è chiuso, il suo interno è non vuoto ma [tex]A[/tex] non è aperto.

Prendendo invece [tex]H=M_2(\mathbb{R})[/tex] il sottogruppo [tex]GL_2(\mathbb{R})[/tex] delle matrici invertibili è aperto, ma non è chiuso.

Quello che posso dire è che se [tex]A[/tex] è un sottogruppo allora anche [tex]\overline{A}[/tex] è un sottogruppo

[Norbertus]

Ma nè A nè H sono dei gruppi.. L'ultima cosa che hai scritto però è vera.

[Norbertus]

Altro hint visto che sono spariti tutti: Se in uno spazio topologico $X$ (e qui non serve la sottogruppezza) $U$ è un aperto e $D$ è denso in $X$ allora [tex]\overline{U \cap D} = \overline{U}[/tex]