Anello Z154
Ciao,potreste aiutarmi con questo esercizio?
1)Si determino tutti gli elementi $[x]_154$ appartente a $Z_154$ tali che
$[x+2]_154= 7[x]_154
2)si stabilisca se esiste un elemento non nullo $[x]_154$ appartente all'anello $Z_154$ tale che $[x]^3_154 = 0$
3)Trovare tutti gli ideali massimali dell'anello $Z_154$
Il secondo punto chiede di trovare un elemento di periodo 3, ma essendo che 3 non divide 154, so che questo elemento non esiste, giusto?
Per gli altri due non saprei come fare, qualche aiuto?
grazie anticipatamente
1)Si determino tutti gli elementi $[x]_154$ appartente a $Z_154$ tali che
$[x+2]_154= 7[x]_154
2)si stabilisca se esiste un elemento non nullo $[x]_154$ appartente all'anello $Z_154$ tale che $[x]^3_154 = 0$
3)Trovare tutti gli ideali massimali dell'anello $Z_154$
Il secondo punto chiede di trovare un elemento di periodo 3, ma essendo che 3 non divide 154, so che questo elemento non esiste, giusto?
Per gli altri due non saprei come fare, qualche aiuto?
grazie anticipatamente
Risposte
dire che $x^3$ deve essere $0$ mod $154$, vuol dire che $x$ è nilpotente, quindi devono comparirvi tutti i fattori primi di $154$.
$154$ si fattorizza $2*7*11$, dovrebbero perciò comparire tutti i primi, cioè l'unico elemento nilpotente è $0$.
Per il terzo punto sfruttando il teorema di corrispondenza, puoi concludere che gli ideali primi (o massimali) sono quelli generati dai primi che compaiono nella fattorizzazione di $154$, cioè sono $(2)//(154),(7)//(154),(11)//(154)$
$154$ si fattorizza $2*7*11$, dovrebbero perciò comparire tutti i primi, cioè l'unico elemento nilpotente è $0$.
Per il terzo punto sfruttando il teorema di corrispondenza, puoi concludere che gli ideali primi (o massimali) sono quelli generati dai primi che compaiono nella fattorizzazione di $154$, cioè sono $(2)//(154),(7)//(154),(11)//(154)$
"mistake89":
dire che $x^3$ deve essere $0$ mod $154$, vuol dire che $x$ è nilpotente, quindi devono comparirvi tutti i fattori primi di $154$.
$154$ si fattorizza $2*7*11$, dovrebbero perciò comparire tutti i primi, cioè l'unico elemento nilpotente è $0$.
Per il terzo punto sfruttando il teorema di corrispondenza, puoi concludere che gli ideali primi (o massimali) sono quelli generati dai primi che compaiono nella fattorizzazione di $154$, cioè sono $(2)//(154),(7)//(154),(11)//(154)$
Ma scusa per definizione un elemento nilpotente non dovrebbe essere diverso da zero?
"Dovrebbero perciò comparire tutti i primi", cosa intendi con questa affermazione? Dovrebbero comparire dove?
Bah io non escludo lo zero, ma comunque il succo non cambia, in $ZZ_(154)$ non ci sono altri elementi nilpotenti (o non ce ne sono affatto!)
Se $x$ fosse un elemento nilpotente, 154 dovrebbe dividere $x^3$, quindi nella fattorizzazione di $x$ dovrebbero comparire tutti i primi di $154$, ma se vi comparissero si avrebbe proprio $154 \equiv 0$. Da cui deduci che non ve ne sono altri.
Se $x$ fosse un elemento nilpotente, 154 dovrebbe dividere $x^3$, quindi nella fattorizzazione di $x$ dovrebbero comparire tutti i primi di $154$, ma se vi comparissero si avrebbe proprio $154 \equiv 0$. Da cui deduci che non ve ne sono altri.
Ho capito, grazie. E il primo punto?
si tratta di risolvere questa congruenza
$x+2 \equiv 7x mod 154$, che potremmo riscrivere meglio $6x \equiv 2 mod 154$. Risolvila ed ottieni la soluzione
$x+2 \equiv 7x mod 154$, che potremmo riscrivere meglio $6x \equiv 2 mod 154$. Risolvila ed ottieni la soluzione
C'è qualcosa on the internets che riporti le regole dell'aritmetica modulare? Non so come muovermi con quell'equazione modulare
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