Anello seconda puntata
Continuo col mio articolo e purtroppo continuo a non capire; scrivo qui un sunto(l'anello di cui parlo lo trovate nel post dal titolo:anello):
L'anello ammette Fp-algebra automorphisms determinati da $X->X^k$ per k primo con r.Questi automorfismi formano un gruppo $Delta$. Prendiamo l'automorfismo $sigma:X->X^n$
e consideriamo $S={x in A:sigma(x)=x^n}$ sottoinsieme di A.
Il polinomio $(X^r−1)$$/(X−1) in F_p[X]$ si fattorizza nel prodotto di polinomi irriducibili
distinti, tutti di grado uguale all'ordine di $p(modr).$
Con $theta$ denotiamo uno zero di uno di questi fattori irriducibili; essa è una radice primitiva r-sima dell'unità.
Definiamo un omomorfismo suriettivo $pi:A->F_p(theta)$ ponendo $pi(X)=theta$.
L'immagine $pi((S)$ di S è unione di ${0}$ e un sottogruppo di $F_p(theta)$ di ordine s.
Componendo $pi$ con un automorfismo in $Delta$ otteniamo per ogni $k in Z$$/rZ$ l'omomorfismo
$pi_k:A->F_p(theta)$ dato da $X-> theta^k$. Poichè $Delta$ è commutativo, esso agisce su S.
Segue che ognuno degli omomrfismi $π_k$ mappa S in un insieme di ordine s+1.
Il morfismo combinato $(π_k)_(k∈C):A->prod_(k∈C)F_p(theta)$ è un isomorfismo.
Qualcuno può spiegarmi tutto questo? Aiutoooo
come al solito:più informazioni mi date meglio è.
Grazie
L'anello ammette Fp-algebra automorphisms determinati da $X->X^k$ per k primo con r.Questi automorfismi formano un gruppo $Delta$. Prendiamo l'automorfismo $sigma:X->X^n$
e consideriamo $S={x in A:sigma(x)=x^n}$ sottoinsieme di A.
Il polinomio $(X^r−1)$$/(X−1) in F_p[X]$ si fattorizza nel prodotto di polinomi irriducibili
distinti, tutti di grado uguale all'ordine di $p(modr).$
Con $theta$ denotiamo uno zero di uno di questi fattori irriducibili; essa è una radice primitiva r-sima dell'unità.
Definiamo un omomorfismo suriettivo $pi:A->F_p(theta)$ ponendo $pi(X)=theta$.
L'immagine $pi((S)$ di S è unione di ${0}$ e un sottogruppo di $F_p(theta)$ di ordine s.
Componendo $pi$ con un automorfismo in $Delta$ otteniamo per ogni $k in Z$$/rZ$ l'omomorfismo
$pi_k:A->F_p(theta)$ dato da $X-> theta^k$. Poichè $Delta$ è commutativo, esso agisce su S.
Segue che ognuno degli omomrfismi $π_k$ mappa S in un insieme di ordine s+1.
Il morfismo combinato $(π_k)_(k∈C):A->prod_(k∈C)F_p(theta)$ è un isomorfismo.
Qualcuno può spiegarmi tutto questo? Aiutoooo
come al solito:più informazioni mi date meglio è.
Grazie
Risposte
Ciao!
Vedo vedo
Pero' avrei un "paio" di domande:
- cosa sono p e r? Numeri naturali senza altre ipotesi, o numeri primi, o p è primo e r qualunque, o cosa?
- ci sono ipotesi su r e p? Per esempio, sono supposti essere coprimi?
- cosa è quella C maiuscola che compare nell'ultima formula? L'insieme dei k compresi tra 1 e r-1 e coprimi con r forse?
- quanto ti è chiaro di tutto questo? Sai, nel caso decidessi di pensarci seriamente, nel risponderti non vorrei mai partire dalla definizione di polinomio ciclotomico
Vedo vedo
Pero' avrei un "paio" di domande:
- cosa sono p e r? Numeri naturali senza altre ipotesi, o numeri primi, o p è primo e r qualunque, o cosa?
- ci sono ipotesi su r e p? Per esempio, sono supposti essere coprimi?
- cosa è quella C maiuscola che compare nell'ultima formula? L'insieme dei k compresi tra 1 e r-1 e coprimi con r forse?
- quanto ti è chiaro di tutto questo? Sai, nel caso decidessi di pensarci seriamente, nel risponderti non vorrei mai partire dalla definizione di polinomio ciclotomico
Ti scrivo l'enunciato del teorema così r, p ecc ti sono più chiare;
Sia $n>=1$ un numero naturale e $r$ primo tale che:
$n$ non è divisibile per nessun primo $<= r$;
l'ordine di $n (mod r)$ è almeno $((logn)/(log2))^2$;
per $0 <= a < r$ si ha che $(X+a)^n=X^n+a$ nell'anello $($Z$$/nZ)$[X]$$/(X^r-1)$.
Allora $n$ è una potenza prima.
Poi fa un primo pezzo di dimostrazione e poi quello che ti ho scritto (per finire tutta la dimostrazione manca ancora un'altra pagina...comunque).
$k$ lo prende primo con $r$ e per il prodotto su $C$ dice (te lo scrivo direttamente in inglese)
Here the product runs over set of $C$ of coset representatives $K in (Z/(rZ))*$
Quanto mi è chiaro di tutto questo?
Finchè prende gli automorfismi, il sottoinsieme S tutto chiaro; il fatto che quel polinomio si fattorizza in polinomi irriducibili, lo ricordo, ma non ricordo bene come e perchè...vorrei toccare un pò più con mano la cosa; e soprattutto non ricordo perchè ognuno con quel grado. la parte su $theta$ e l'omomorfismo suriettivo mi sembra molto simile alla spiegazione che mi davi l'altra volta, ma se puoi spendere qualche parola anche qui, non mi dispiacerebbe.non capisco perchè l'omomorfismo composto mappa S in un insieme di ordine s+1.e infine l'ultima affermazione. Praticamente, posso affermare di non aver capito niente, quindi...la definizione di polinomio ciclotomico la ricordo, ma a questo punto vedi tu, visto come sono ridotta male, se per la spiegazione di tutto ciò occorre anche quella
Grazie anticipatamente e infinitamente
Sia $n>=1$ un numero naturale e $r$ primo tale che:
$n$ non è divisibile per nessun primo $<= r$;
l'ordine di $n (mod r)$ è almeno $((logn)/(log2))^2$;
per $0 <= a < r$ si ha che $(X+a)^n=X^n+a$ nell'anello $($Z$$/nZ)$[X]$$/(X^r-1)$.
Allora $n$ è una potenza prima.
Poi fa un primo pezzo di dimostrazione e poi quello che ti ho scritto (per finire tutta la dimostrazione manca ancora un'altra pagina...comunque).
$k$ lo prende primo con $r$ e per il prodotto su $C$ dice (te lo scrivo direttamente in inglese)
Here the product runs over set of $C$ of coset representatives $K in (Z/(rZ))*$
Quanto mi è chiaro di tutto questo?
Finchè prende gli automorfismi, il sottoinsieme S tutto chiaro; il fatto che quel polinomio si fattorizza in polinomi irriducibili, lo ricordo, ma non ricordo bene come e perchè...vorrei toccare un pò più con mano la cosa; e soprattutto non ricordo perchè ognuno con quel grado. la parte su $theta$ e l'omomorfismo suriettivo mi sembra molto simile alla spiegazione che mi davi l'altra volta, ma se puoi spendere qualche parola anche qui, non mi dispiacerebbe.non capisco perchè l'omomorfismo composto mappa S in un insieme di ordine s+1.e infine l'ultima affermazione. Praticamente, posso affermare di non aver capito niente, quindi...la definizione di polinomio ciclotomico la ricordo, ma a questo punto vedi tu, visto come sono ridotta male, se per la spiegazione di tutto ciò occorre anche quella
Grazie anticipatamente e infinitamente
Ciao!
Premetto che quello che ti posso dire è molto poco: per riuscire a scriverti qualcosa di decente dovrei fare un po' di ricerca e mi porterebbe via troppo tempo. Sulle note del corso di teoria di Galois ho trovato qualcosa sul modo in cui si fattorizzano i polinomi in caratteristica positiva, ma niente di aderente a quello che richiedi.
Ti posso dire quel poco che riesco a dedurre:
Qui mancano delle ipotesi su r e p: mi pare di ricordare (potrei sbagliarmi) che l'ordine di un numero n modulo m sia il più piccolo intero positivo l tale che $n^l$ sia congruente a 1 mod m. Ne segue che perché esista un tale ordine è quantomeno necessario che m ed n siano coprimi. Ti faccio notare che non ci sono p nell'enunciato da te fornito.
Anche questa affermazione dipende da relazioni tra r e p (tipo coprimalità).
Qua credo tu debba considerare il polinomio minimo di $theta$, f(x), e debba comporre l'isomorfismo canonico $(F_p[X])/((f(x))) to F_p[theta]$ con la suriezione naturale $(F_p[X])/((X^{r-1}+...+1)) to (F_p[X])/((f(x)))$. Quello che ottieni è un omomorfismo suriettivo.
Questa credo sia assimilabile ad una definizione: devi verificare che l'immagine di S meno lo zero è un gruppo, poi chiami s il suo ordine. Quindi S viene mappato in un insieme di s+1 elementi.
Siccome $Delta$ è commutativo, esso agisce su $S$ in quanto se $delta_k in Delta$ e $x in S$ allora $delta_k(sigma(x))=sigma(delta_k(x))=sigma(x^k)=x^{kn} in S$ in quanto $sigma(x^{kn}) = sigma(x)^{kn} = x^{nkn} = (x^{kn})^n$.
Questo segue dal fatto che ogni elemento di $Delta$ induce un automorfismo di $S-{0}$ e manda 0 in 0.
Questo mi pare un po' lungo da verificare. Non mi è molto chiara la definizione di C che mi hai dato (traducibile come "il prodotto è sull'insieme di C del laterale rappresentanti $K in Z/(rZ)$", per me abbastanza privo di significato). Inoltre non vorrei che il risultato fosse legato ad altre cose dimostrate in precedenza.
Mi spiace di non poterti aiutare più di così, spero che qualcun altro ti sappia aiutare meglio di me.
Ciao ciao.
Premetto che quello che ti posso dire è molto poco: per riuscire a scriverti qualcosa di decente dovrei fare un po' di ricerca e mi porterebbe via troppo tempo. Sulle note del corso di teoria di Galois ho trovato qualcosa sul modo in cui si fattorizzano i polinomi in caratteristica positiva, ma niente di aderente a quello che richiedi.
Ti posso dire quel poco che riesco a dedurre:
"fabiola":
L'anello ammette Fp-algebra automorphisms determinati da $X->X^k$ per k primo con r. Questi automorfismi formano un gruppo $Delta$. Prendiamo l'automorfismo $sigma:X->X^n$
e consideriamo $S={x in A:sigma(x)=x^n}$ sottoinsieme di A.
Il polinomio $(X^r−1)$$/(X−1) in F_p[X]$ si fattorizza nel prodotto di polinomi irriducibili
distinti, tutti di grado uguale all'ordine di $p(modr).$
Qui mancano delle ipotesi su r e p: mi pare di ricordare (potrei sbagliarmi) che l'ordine di un numero n modulo m sia il più piccolo intero positivo l tale che $n^l$ sia congruente a 1 mod m. Ne segue che perché esista un tale ordine è quantomeno necessario che m ed n siano coprimi. Ti faccio notare che non ci sono p nell'enunciato da te fornito.
Con $theta$ denotiamo uno zero di uno di questi fattori irriducibili; essa è una radice primitiva r-sima dell'unità.
Anche questa affermazione dipende da relazioni tra r e p (tipo coprimalità).
Definiamo un omomorfismo suriettivo $pi:A->F_p(theta)$ ponendo $pi(X)=theta$.
Qua credo tu debba considerare il polinomio minimo di $theta$, f(x), e debba comporre l'isomorfismo canonico $(F_p[X])/((f(x))) to F_p[theta]$ con la suriezione naturale $(F_p[X])/((X^{r-1}+...+1)) to (F_p[X])/((f(x)))$. Quello che ottieni è un omomorfismo suriettivo.
L'immagine $pi((S)$ di S è unione di ${0}$ e un sottogruppo di $F_p(theta)$ di ordine s.
Questa credo sia assimilabile ad una definizione: devi verificare che l'immagine di S meno lo zero è un gruppo, poi chiami s il suo ordine. Quindi S viene mappato in un insieme di s+1 elementi.
Componendo $pi$ con un automorfismo in $Delta$ otteniamo per ogni $k in Z$$/rZ$ l'omomorfismo
$pi_k:A->F_p(theta)$ dato da $X-> theta^k$. Poichè $Delta$ è commutativo, esso agisce su S.
Siccome $Delta$ è commutativo, esso agisce su $S$ in quanto se $delta_k in Delta$ e $x in S$ allora $delta_k(sigma(x))=sigma(delta_k(x))=sigma(x^k)=x^{kn} in S$ in quanto $sigma(x^{kn}) = sigma(x)^{kn} = x^{nkn} = (x^{kn})^n$.
Segue che ognuno degli omomrfismi $π_k$ mappa S in un insieme di ordine s+1.
Questo segue dal fatto che ogni elemento di $Delta$ induce un automorfismo di $S-{0}$ e manda 0 in 0.
Il morfismo combinato $(π_k)_(k∈C):A->prod_(k∈C)F_p(theta)$ è un isomorfismo.
Questo mi pare un po' lungo da verificare. Non mi è molto chiara la definizione di C che mi hai dato (traducibile come "il prodotto è sull'insieme di C del laterale rappresentanti $K in Z/(rZ)$", per me abbastanza privo di significato). Inoltre non vorrei che il risultato fosse legato ad altre cose dimostrate in precedenza.
Mi spiace di non poterti aiutare più di così, spero che qualcun altro ti sappia aiutare meglio di me.
Ciao ciao.
Martino,
anche se in ritardo, volevo ringraziarti per i tuoi preziosi consigli e commenti. Nel frattempo ho trovato un altro articolo che mi sta aiutando moltissimo e insieme alle tue dritte, vado avanti.
Visto che mi ci trovo, ti scrivo un piccolo dubbio...stavolta roba di poco:
a un certo punto trovo scritto:
n non è congruo a 1 modulo r, perciò esiste un divisore di n, primo (che chiamo p) tale che p non è congruo a 1 modulo r.
ti ricordo che r è primo.
questa affermazione che fa, intuitivamente la capisco, ma da dove proviene?c'è qualcosa di più formale che me lo spiega? vorrebbe dire che se invece n fosse congruo a 1 modulo r, ogni divisore di n, sarebbe congruo a 1 modulo r? non credo, perchè mi sembra falso...o no?
Sai dirmi qualcosa su tutto ciò?
grazie ancora
anche se in ritardo, volevo ringraziarti per i tuoi preziosi consigli e commenti. Nel frattempo ho trovato un altro articolo che mi sta aiutando moltissimo e insieme alle tue dritte, vado avanti.
Visto che mi ci trovo, ti scrivo un piccolo dubbio...stavolta roba di poco:
a un certo punto trovo scritto:
n non è congruo a 1 modulo r, perciò esiste un divisore di n, primo (che chiamo p) tale che p non è congruo a 1 modulo r.
ti ricordo che r è primo.
questa affermazione che fa, intuitivamente la capisco, ma da dove proviene?c'è qualcosa di più formale che me lo spiega? vorrebbe dire che se invece n fosse congruo a 1 modulo r, ogni divisore di n, sarebbe congruo a 1 modulo r? non credo, perchè mi sembra falso...o no?
Sai dirmi qualcosa su tutto ciò?
grazie ancora
"fabiola":
n non è congruo a 1 modulo r, perciò esiste un divisore di n, primo (che chiamo p) tale che p non è congruo a 1 modulo r.
ti ricordo che r è primo.
Mi permetto di risp io.
Se ogni divisore primo di $n$ fosse congruo a 1 $mod r$, allora tale sarebbe anche $n$. E' una proprieta' delle congruenze.
"fabiola":
vorrebbe dire che se invece n fosse congruo a 1 modulo r, ogni divisore di n, sarebbe congruo a 1 modulo r? non credo, perchè mi sembra falso...o no?
Come dice giustamente Sandokan, se tutti i divisori primi di n fossero 1 mod r allora anche n sarebbe 1 mod r. Ciò discende dal fatto che la congruenza di un prodotto è (detto male) "la congruenza del prodotto delle congruenze": se a,b sono due interi congrui rispettivamente ad a',b' modulo un certo k, allora ab è congruo ad a'b' modulo k.
Attenzione: non è vero che se n è congruo a 1 modulo r allora lo è ogni suo divisore primo: per esempio 18 è 1 mod 17 ma i suoi fattori primi (2 e 9) no. Se n è congruo a 1 mod r in realtà non puoi dire molto sui suoi fattori primi.
Ciaaà!
ok,grazie ad entrambi; il mio problema era proprio che volevo giustificare l'affermazione del libro, tentando di dimostrare che se n era congruo a 1 mod r, allora lo erano tutti i suoi divisori primi....ovviamente non ci riuscivo perchè trovavo una marea di controesempi e temevo ci fosse qualche errore nel testo;ora che ho letto le vostre soluzioni, mi sono resa conto della mia stupidità:giorni e giorni su un rigo per scoprire che bastava guardarlo da un punto di vista differente:è questa la grandezza della matematica!
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