Anello quoziente ideale non principale
Ciao a tutti! E' possibile avere un esempio su come svolgere questo esercizio:
Verificare che \(\displaystyle I = (X^2+3_4X+1_4, 2_4) \) è un ideale massimale di \(\displaystyle \mathbb{Z}_4[X] \)
Arrivo intuitivamente che \(\displaystyle \mathbb{Z}_4[X]/(2_4) \cong \mathbb{Z}_2\) e in seguito bisogna verificare se il polinomio è irriducibile in \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \)
ma non so arrivarci in modo matematico. Mi è stato detto che bisogna usare il Secondo teorema di isomorfismo, ma non ho idea come applicarlo.. qualcuno sa come fare?
Grazie mille!
Verificare che \(\displaystyle I = (X^2+3_4X+1_4, 2_4) \) è un ideale massimale di \(\displaystyle \mathbb{Z}_4[X] \)
Arrivo intuitivamente che \(\displaystyle \mathbb{Z}_4[X]/(2_4) \cong \mathbb{Z}_2\) e in seguito bisogna verificare se il polinomio è irriducibile in \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \)
ma non so arrivarci in modo matematico. Mi è stato detto che bisogna usare il Secondo teorema di isomorfismo, ma non ho idea come applicarlo.. qualcuno sa come fare?
Grazie mille!
Risposte
Se il quoziente di un anello è un campo allora l'ideale è massimale. Non hai bisogno di analizzare il polinomio. Cosa dice il teorema?
Ma come verifico che quel quoziente è un campo?
Se quello è effettivamente isomorfo a \(\mathbf{Z}_2\) allora è un campo. Insomma quando \(\mathbf{Z}_n\) è un campo?
Si so la teoria, il mio problema è capire come arrivare per esercizio che il quoziente è un campo
"DoMinO":E sbagli intuizione!
...Arrivo intuitivamente che \( \displaystyle \mathbb{Z}_4[X]/(2_4) \cong \mathbb{Z}_2 \) e in seguito bisogna verificare se il polinomio è irriducibile in \( \displaystyle \mathbb{Z}_2 \)...
Perché? Hai la risposta sotto il naso!
@j18eos : Si, hai ragione. Avevo letto velocemente e non avevo notato.
@DoMinO : Per vederlo prova a pensare se \(X\in (2_4)\). Comunque la frase se \(\mathfrak{m}\) è un ideale massimale di \(A\) allora \(A/\mathfrak{m}\) è un campo vale per ogni anello commutativo \(A\) (se togli la commutatività è evidente che \(A/\mathfrak{m}\) potrebbe non essere commutativo ma certamente continua a non possedere ideali propri).
@DoMinO : Per vederlo prova a pensare se \(X\in (2_4)\). Comunque la frase se \(\mathfrak{m}\) è un ideale massimale di \(A\) allora \(A/\mathfrak{m}\) è un campo vale per ogni anello commutativo \(A\) (se togli la commutatività è evidente che \(A/\mathfrak{m}\) potrebbe non essere commutativo ma certamente continua a non possedere ideali propri).
Scusate, intendevo \(\displaystyle \mathbb{Z}_2[X] \)
Ma il problema rimane ugualmente. Se l'ideale è generato da un solo elemento allora so dimostrare se è massimale o no. Ma se è generato da due elementi, come si fa a dimostrare che è massimale, in modo rigoroso?
Ma il problema rimane ugualmente. Se l'ideale è generato da un solo elemento allora so dimostrare se è massimale o no. Ma se è generato da due elementi, come si fa a dimostrare che è massimale, in modo rigoroso?
Devi usare i teoremi degli isomorfismi per sfruttare le tue conoscenze sugli ideali principali. Insomma enuncia i teoremi che ti aiutiamo da lì.
Di fatto dovrai scomporre il morfismo in più morfismi che sai trattare meglio.
Di fatto dovrai scomporre il morfismo in più morfismi che sai trattare meglio.
Grazie per la disponibilità vict85. Forse ho capito, dimmi se è giusto agire in questo modo:
Intanto enuncio il II teorema di omomorfismo:
Sia \(\displaystyle G \) un gruppo, \(\displaystyle H, K \unlhd* G \) con \(\displaystyle H \subseteq K \). Allora:
\(\displaystyle G/K \cong \frac{G/H}{K/H} \)
Ovviamente questo è l'enunciato per i gruppi, ma è analogo per gli anelli.
Dunque, nell'esempio in questione si può agire in questo modo:
\(\displaystyle \frac{\mathbb{Z}_4[X]}{(X^2+3_4X+1_4, 2_4)} \cong \frac{\mathbb{Z}_4[X]}{\frac{(2_4)}{\frac{(X^2+3_4X+1_4, 2_4)}{(2_4)}}} \cong \frac{\mathbb{Z}_2[X]}{(X^2+3_4X+1_4)} \)
A questo punto, poiché \(\displaystyle \mathbb{Z}_2[X] \) è principale essendo \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \) campo, si ha che \(\displaystyle (X^2+3_4X+1_4) \) è massimale se e solo se il suo generatore è irriducibile. Poiché esso è irriducibile, si ha che \(\displaystyle (X^2+3_4X+1_4) \) è massimale.
Dal teorema che afferma che I è massimale se e solo se A/I è campo, si ha che \(\displaystyle \frac{\mathbb{Z}_2[X]}{(X^2+3_4X+1_4)} \) è campo, ed essendo isomorfo al nostro anello di partenza, si ha che \(\displaystyle (X^2+3_4X+1_4, 2_4) \) è massimale in \(\displaystyle \mathbb{Z}_4[X] \)
Right?
Intanto enuncio il II teorema di omomorfismo:
Sia \(\displaystyle G \) un gruppo, \(\displaystyle H, K \unlhd* G \) con \(\displaystyle H \subseteq K \). Allora:
\(\displaystyle G/K \cong \frac{G/H}{K/H} \)
Ovviamente questo è l'enunciato per i gruppi, ma è analogo per gli anelli.
Dunque, nell'esempio in questione si può agire in questo modo:
\(\displaystyle \frac{\mathbb{Z}_4[X]}{(X^2+3_4X+1_4, 2_4)} \cong \frac{\mathbb{Z}_4[X]}{\frac{(2_4)}{\frac{(X^2+3_4X+1_4, 2_4)}{(2_4)}}} \cong \frac{\mathbb{Z}_2[X]}{(X^2+3_4X+1_4)} \)
A questo punto, poiché \(\displaystyle \mathbb{Z}_2[X] \) è principale essendo \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \) campo, si ha che \(\displaystyle (X^2+3_4X+1_4) \) è massimale se e solo se il suo generatore è irriducibile. Poiché esso è irriducibile, si ha che \(\displaystyle (X^2+3_4X+1_4) \) è massimale.
Dal teorema che afferma che I è massimale se e solo se A/I è campo, si ha che \(\displaystyle \frac{\mathbb{Z}_2[X]}{(X^2+3_4X+1_4)} \) è campo, ed essendo isomorfo al nostro anello di partenza, si ha che \(\displaystyle (X^2+3_4X+1_4, 2_4) \) è massimale in \(\displaystyle \mathbb{Z}_4[X] \)
Right?
Si ha che \(\displaystyle (x^2+3_4x+1_4, 2_4)/(2_4) = (x^2 + x+ 1_2) \). Devi controllare l'irriducibilità in \(\displaystyle \mathbb{Z}_2[x] \). Ma è semplice.
Una volta che sei arrivato a dire che è massimale perché controlli il quoziente?
Una volta che sei arrivato a dire che è massimale perché controlli il quoziente?
Sisi giusto. Comunque controllo il quoziente perché io dovevo dimostrare che quell'ideale è massimale in quell'anello di partenza, no? Quindi faccio un giro di isomorfismi, poi concludo che il mio anello di partenza è isomorfo a un campo, quindi l'ideale di partenza è massimale nell'anello di partenza, no?
Si, hai ragione. In realtà però puoi sfruttare anche la corrispondenza tra i reticoli di ideali. Insomma questo http://math.stackexchange.com/questions ... -for-rings (le dimostrazioni sono sotto).
Grazie mille 
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