Anello Quoziente, determinare inversa di una classe
Salve a tutti, sono due giorni che sbatto la testa su un esercizio senza venirne a capo..sto impazzendo 
Spero nel vostro aiuto...vi sottopongo l'esercizio "maledetto"...
Devo studiare l'anello quoziente $QQ$[x]/$(x^4-3x-1)$, appurato che il polinomio è irriducibile su $QQ$,e di conseguenza essendo questo anello un campo, tutte le classi non nulle sono invertibili.
Quindi prendendo in esame la classe $g(x)=x^3+2$, si avrà che $s(x)*f(x) + t(x)*g(x) = 1$ dove $f(x)=x^4-3x-1$ e $t(x)$ è proprio il polinomio che sto cercando, cioè l'inversa di $g(x)$.
Procedo con l'algoritmo delle divisioni successive, dal quale ottengo:
$x^4-3x-1=(x^3+2)(x)+(-5x-1)$
$x^3+2=(-5x-1)(-1/5x^2+1/25x-1/125)+249/125$
Ora posso esplicitare i resti per arrivare ad ottenere Bezòut, e quindi:
$(-5x-1)=(x^4-3x-1)-(x^3+2)(x)$
$249/125=(x^3+2)-(-5x-1)(-1/5x^2+1/25x-1/125)$
Sostituendo il primo resto della prima riga nella seconda riga ottengo:
$249/125 = (x^3+2)-[(x^4-3x-1)-(x^3+2)(x)](-1/5x^2+1/25x-1/125)$
Facendo qualche calcolo:
$249/125 =(x^3+2)-(x^4-3x-1)(-1/5x^2+1/25x-1/125)-(x^3+2)(-1/5x^3+1/25x^2-1/125x)$
Ora moltiplicando tutto per $125/249$ dovrei arrivare al risultato che volevo, ossia $1 = s(x)*f(x) + t(x)*g(x)$.
Il problema è che mi risulta un $g(x)$ di "troppo", non so come ridurre $(x^3+2)$ che compare nell'equazione...
Probabilmente il mio intoppo è estremamente banale...ma non riesco ad uscirne..
Grazie
Spero nel vostro aiuto...vi sottopongo l'esercizio "maledetto"...
Devo studiare l'anello quoziente $QQ$[x]/$(x^4-3x-1)$, appurato che il polinomio è irriducibile su $QQ$,e di conseguenza essendo questo anello un campo, tutte le classi non nulle sono invertibili.
Quindi prendendo in esame la classe $g(x)=x^3+2$, si avrà che $s(x)*f(x) + t(x)*g(x) = 1$ dove $f(x)=x^4-3x-1$ e $t(x)$ è proprio il polinomio che sto cercando, cioè l'inversa di $g(x)$.
Procedo con l'algoritmo delle divisioni successive, dal quale ottengo:
$x^4-3x-1=(x^3+2)(x)+(-5x-1)$
$x^3+2=(-5x-1)(-1/5x^2+1/25x-1/125)+249/125$
Ora posso esplicitare i resti per arrivare ad ottenere Bezòut, e quindi:
$(-5x-1)=(x^4-3x-1)-(x^3+2)(x)$
$249/125=(x^3+2)-(-5x-1)(-1/5x^2+1/25x-1/125)$
Sostituendo il primo resto della prima riga nella seconda riga ottengo:
$249/125 = (x^3+2)-[(x^4-3x-1)-(x^3+2)(x)](-1/5x^2+1/25x-1/125)$
Facendo qualche calcolo:
$249/125 =(x^3+2)-(x^4-3x-1)(-1/5x^2+1/25x-1/125)-(x^3+2)(-1/5x^3+1/25x^2-1/125x)$
Ora moltiplicando tutto per $125/249$ dovrei arrivare al risultato che volevo, ossia $1 = s(x)*f(x) + t(x)*g(x)$.
Il problema è che mi risulta un $g(x)$ di "troppo", non so come ridurre $(x^3+2)$ che compare nell'equazione...
Probabilmente il mio intoppo è estremamente banale...ma non riesco ad uscirne..
Grazie
Risposte
Ciao, benvenuto/a nel forum.
Questo:
$249/125 = g(x)-[f(x)-xg(x)](-1/5x^2+1/25x-1/125)$.
Ora ti basta separare il pezzo con $f(x)$ dal pezzo con $g(x)$ e hai finito:
$249/125 = -f(x)(-1/5x^2+1/25x-1/125)+g(x)[1+x(-1/5x^2+1/25x-1/125)]$.
Ottieni che $s(x)=125/249 (1/5x^2-1/25x+1/125)$ e $t(x)=125/249 (1+x(-1/5x^2+1/25x-1/125))$.
PS.
Questo:
$249/125 = (x^3+2)-[(x^4-3x-1)-(x^3+2)(x)](-1/5x^2+1/25x-1/125)$Lo puoi riscrivere come
$249/125 = g(x)-[f(x)-xg(x)](-1/5x^2+1/25x-1/125)$.
Ora ti basta separare il pezzo con $f(x)$ dal pezzo con $g(x)$ e hai finito:
$249/125 = -f(x)(-1/5x^2+1/25x-1/125)+g(x)[1+x(-1/5x^2+1/25x-1/125)]$.
Ottieni che $s(x)=125/249 (1/5x^2-1/25x+1/125)$ e $t(x)=125/249 (1+x(-1/5x^2+1/25x-1/125))$.
PS.
"Manu_87":Questo passaggio è sbagliato, il meno prima della quadra moltiplicato per il meno di $-(x^3+2)(x)$ diventa più.
$249/125 = (x^3+2)-[(x^4-3x-1)-(x^3+2)(x)](-1/5x^2+1/25x-1/125)$
Facendo qualche calcolo:
$249/125 =(x^3+2)-(x^4-3x-1)(-1/5x^2+1/25x-1/125)-(x^3+2)(-1/5x^3+1/25x^2-1/125x)$
Grazie mille Martino!
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