Anello quoziente
Volevo chiedervi esempi e chiarimenti sugli anelli quoziente... ho letto molte dispense su questo argomento ma ancora non so come muovermi negli esercizi...
Un esempio di esercizio è il seguente...
Sia $ ZZ_3[X] $ l'anello dei polinomi a coefficienti in $ ZZ_3 $ . Sia $ p(X)=X^4+X^3+X^2-1 $ e sia $ I=(p(X)) $ l'ideale principale generato da $ p(X) $ .
(a) Mostrare che $ A=(ZZ_3[X])/I $ (anello quoziente) è un dominio;
(b) trovare i nilpotenti di $ A $ ;
(c) mostrare che $ X^2+1 $ diventa invertibile in $ A $ .
(Con ideali e strutture quoziente di mezzo non so proprio da dove iniziare...)
Un esempio di esercizio è il seguente...
Sia $ ZZ_3[X] $ l'anello dei polinomi a coefficienti in $ ZZ_3 $ . Sia $ p(X)=X^4+X^3+X^2-1 $ e sia $ I=(p(X)) $ l'ideale principale generato da $ p(X) $ .
(a) Mostrare che $ A=(ZZ_3[X])/I $ (anello quoziente) è un dominio;
(b) trovare i nilpotenti di $ A $ ;
(c) mostrare che $ X^2+1 $ diventa invertibile in $ A $ .
(Con ideali e strutture quoziente di mezzo non so proprio da dove iniziare...)
Risposte
"Pierlu11":
(a) Mostrare che $A=(ZZ_3[X])/I $ (anello quoziente) è un dominio;
Sai che $ ZZ_3$ è un dominio $Rightarrow ZZ_3[X]$ è un dominio. Tutto si riduce a spezzare $P(X)$ in $ZZ_3[x]$:
$ X^4+X^3+X^2-1=(X+1)(X^3+X-1)$
Se io prendo quindi due rappresentanti, uno per classe, e li moltiplico tra loro.. Mi trovo nella classe dello 0, quindi $A$ non è un dominio. Forse è $P(X)=X^4+X^3+X^2$+$1$
(b) $P in A ^^ exists n in NN: P^n=0 Rightarrow P^n in I Rightarrow P in I$
(c) $(X^2+1)(alpha)= bar(1)$
Proviamo un tentativo manuale:
$(X^2+1)(X^2+X)=X^4+X^3+X^2+X= (X^4+X^3+X^2-1) +X+1 Rightarrow$
$Rightarrow (X^2+1)(X^2+X) =(X+1)$
$ Rightarrow (X^2+1)$ è divisore dello 0. Non è invertibile.
Se non ho sbagliato tutto, dovrebbe essere giusto
Il polinomio è corretto... il testo dell'esercizio era "mostrare che NON è un dominio"...
Ti ringrazio per la risposta e volevo chiederti se potevi chiarire il passaggio in cui affermi che A è non un dominio... non capisco perché si parla di "classe 0"...
Ti ringrazio per la risposta e volevo chiederti se potevi chiarire il passaggio in cui affermi che A è non un dominio... non capisco perché si parla di "classe 0"...
Ora provo a spiegartela brutale, come piace a me!
Hai un polinomio che genera l'ideale, nel nostro caso $X^4+X^3+X^2+1$.
Ma questo polinomio non è irriducibile, possiamo scomporlo in questa maniera:
$X^4+X^3+X^2-1=(X+1)(X^3+X-1)$
Prendiamo proprio gli elementi $(X+1)$ e $(X^3+X-1)$, siamo sicuri che essi non appartengono all'Ideale $I$, quindi in $A$ avremo $bar((X+1))!=bar(0)$ e similmente $bar((X^3+X-1))!=bar(0)$ però $bar((X+1))*bar((X^3+X-1))=bar((X^4+X^3+X^2-1))=bar(0)$.
Hai un polinomio che genera l'ideale, nel nostro caso $X^4+X^3+X^2+1$.
Ma questo polinomio non è irriducibile, possiamo scomporlo in questa maniera:
$X^4+X^3+X^2-1=(X+1)(X^3+X-1)$
Prendiamo proprio gli elementi $(X+1)$ e $(X^3+X-1)$, siamo sicuri che essi non appartengono all'Ideale $I$, quindi in $A$ avremo $bar((X+1))!=bar(0)$ e similmente $bar((X^3+X-1))!=bar(0)$ però $bar((X+1))*bar((X^3+X-1))=bar((X^4+X^3+X^2-1))=bar(0)$.
Ci sono quasi...
Ricapitolando $ f(x)inIhArr f(x)=g(x)(x^4+x^3+x^2-1) $ con $ g(x)inZZ_3[x] $ ;
$ h(x)~ s(x) $ se $ h(x)- s(x)=g(x)(x^4+x^3+x^2-1) $ ;
se $ h(x)=(x^4+x^3+x^2-1)rArrs(x)=0 $ cioè $ in[0] $ ... di conseguenza ci sono divisori dello zero...
(Se il ragionamento è corretto la parte che non mi torna sono gli elementi dell'anello quoziente, cioè se posso dire quante sono e quali sono le classi, e la presenza di quella $ g(x) $ )
Grazie per la pazienza...
Ricapitolando $ f(x)inIhArr f(x)=g(x)(x^4+x^3+x^2-1) $ con $ g(x)inZZ_3[x] $ ;
$ h(x)~ s(x) $ se $ h(x)- s(x)=g(x)(x^4+x^3+x^2-1) $ ;
se $ h(x)=(x^4+x^3+x^2-1)rArrs(x)=0 $ cioè $ in[0] $ ... di conseguenza ci sono divisori dello zero...
(Se il ragionamento è corretto la parte che non mi torna sono gli elementi dell'anello quoziente, cioè se posso dire quante sono e quali sono le classi, e la presenza di quella $ g(x) $ )
Grazie per la pazienza...
"Pierlu11":
se $ h(x)=(X^4+X^3+X^2-1)rArrs(x)=0 $ cioè $ in[0] $ ... di conseguenza ci sono divisori dello zero...
Tutto giusto il ragionamento fino a quel punto, però ci sono divisori di 0 perché riesci a trovare, moltiplicando due classi diverse da 0, un elemento della classe dello 0. Cioè esistono $f(x),g(x) notin bar0 : f(x)g(x) in bar0$
Se vuoi trovare tutte le classi, partiamo dal principio che tutte le classi avranno grado minore di quello del generatore dell'ideale.Dovremmo avere quindi tutti i polinomi fino al terzo grado di $ZZ_3[X]$.
Per esempio se vuoi scrivere $X^4$ questo apparterrà alla classe
$X^4=X^4+X^3+X^2+1 -X^3-X^2-1= -X^3 -X^2 -1= 2X^3 +2X^2+2.$
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