Anello delle serie formali e polinomi
Ciao a tutti, vorrei tediarvi con una domanda banalotta ma dalla cui non comprensione capisco che c'è qualcosa di fondamentale che non mi torna e vorrei mettervi rimedio.
Stavo leggendo riguardo le serie formali, o meglio l'anello delle serie formali di potenze in x $A[[x]]$, esso dovrebbe avere un sottoanello $A[x]$ definito come l’insieme delle serie formali a coefficienti in A in una indeterminata x aventi un numero finito di coefficienti non nulli.
Ora, questo vuol dire che data una serie formale $f in A[[x]]$ ho un plinomio quando esiste un $d in N$ tale che $f_n=0$ per ogni n maggiore di d (intendendo $f=(f_0,f_1,..,f_d,0,0,..)$)
Tuttavia non capisco perché sia sottoanello non improprio cioè mi verrebbe da dire che A[x]=A[[x]], perché le serie formali sono le $f'=(f_0,f_1,...,f_i,...)$ MA per ogni f' posso trovare un d, insomma ogni elemento della serie formale A[[x]] mi pare potersi vedere come polinomio, non vedo quali elementi di A[[x]] non stiano in A[x] [nota]come dovrebbe essere $A[x]⊂A[[x]]$ cioè $A[x]!=A[[x]]$[/nota] potendo sempre trovare un d nei naturali abbastanza grande da rendere vero essere la successione f' un polinomio.
grazie.
Stavo leggendo riguardo le serie formali, o meglio l'anello delle serie formali di potenze in x $A[[x]]$, esso dovrebbe avere un sottoanello $A[x]$ definito come l’insieme delle serie formali a coefficienti in A in una indeterminata x aventi un numero finito di coefficienti non nulli.
Ora, questo vuol dire che data una serie formale $f in A[[x]]$ ho un plinomio quando esiste un $d in N$ tale che $f_n=0$ per ogni n maggiore di d (intendendo $f=(f_0,f_1,..,f_d,0,0,..)$)
Tuttavia non capisco perché sia sottoanello non improprio cioè mi verrebbe da dire che A[x]=A[[x]], perché le serie formali sono le $f'=(f_0,f_1,...,f_i,...)$ MA per ogni f' posso trovare un d, insomma ogni elemento della serie formale A[[x]] mi pare potersi vedere come polinomio, non vedo quali elementi di A[[x]] non stiano in A[x] [nota]come dovrebbe essere $A[x]⊂A[[x]]$ cioè $A[x]!=A[[x]]$[/nota] potendo sempre trovare un d nei naturali abbastanza grande da rendere vero essere la successione f' un polinomio.
grazie.
Risposte
per ogni f' posso trovare un dNo, non puoi. Per esempio \(\sum_{n\ge 1} x^n\) o \(\sum_{n\ge 1} \frac{x^n}{n!}\) (stando attenti alla caratteristica di A) sono oneste serie formali che non sono polinomi.
In un senso opportuno, i polinomi sono approssimazioni finite di serie formali, mediante una operazione di limite.
In primis ti ringrazio!
Forse allora in questo corso di algebra 1 non mi è stato definito benissimo cosa sia una serie formale.
Il tutto è stato introdotto definiendo una successione $f:N->A$ A anello con unità abeliano, esplicitando il sostegno della successione: $f=(f_0,f_1,.......)$
poi si è introdotta la successione $x=(0,1,0,0...)$ e le potenze n-esime ne spostano l'1 a dx di n-volte.
A questo punto tramite l'immersione $i:A->A[[x]]$ posso usare la notazione per il sostegno: $i(a)*x^n$, cioè:
$(f_0,f_1,....f_n,....)=i(f_0)+i(f_1)x+...+i(f_n)x^n+....$ formalmente.
Poi il polinomio è quello per cui esiste $d in NN$ tale che (blabla come sopra)
Insomma, messa così si presta al fraintendimento potendo di fatto trovare sempre un d, ma quindi da questa introduzione naive come mi giustifico l'impossibilità di trovare un tale d sempre? Non ho ben capito, perché credo la tua risposta sia superiore e non ho nel mio libro una definizione più valida di quanto da me esposto.
Forse allora in questo corso di algebra 1 non mi è stato definito benissimo cosa sia una serie formale.
Il tutto è stato introdotto definiendo una successione $f:N->A$ A anello con unità abeliano, esplicitando il sostegno della successione: $f=(f_0,f_1,.......)$
poi si è introdotta la successione $x=(0,1,0,0...)$ e le potenze n-esime ne spostano l'1 a dx di n-volte.
A questo punto tramite l'immersione $i:A->A[[x]]$ posso usare la notazione per il sostegno: $i(a)*x^n$, cioè:
$(f_0,f_1,....f_n,....)=i(f_0)+i(f_1)x+...+i(f_n)x^n+....$ formalmente.
Poi il polinomio è quello per cui esiste $d in NN$ tale che (blabla come sopra)
Insomma, messa così si presta al fraintendimento potendo di fatto trovare sempre un d, ma quindi da questa introduzione naive come mi giustifico l'impossibilità di trovare un tale d sempre? Non ho ben capito, perché credo la tua risposta sia superiore e non ho nel mio libro una definizione più valida di quanto da me esposto.
poi si è introdotta la successione x=(0,1,0,0...) e le potenze n-esime ne spostano l'1 a dx di n-volte....Chi ti ha spiegato sta cosa, un ingegnere?
Se $A$ è un anello (diciamo commutativo, e certamente lo vuoi unitario) una serie formale a coefficienti in $A$ è una qualsiasi funzione $NN \to A$. L'identificazione tra una tale funzione e una scrittura del tipo \(\sum a_n x^n\) si fa così: gli $a_n$ sono i valori della funzione \(a : \mathbb N \to A\), e gli $x^n$ sono semplicemente dei segnaposto. Praticamente, una serie formale è un vettore di lunghezza infinita di elementi di $A$.
Per ogni tale funzione $a : NN \to A$ ha senso definire il "supporto" di $a$ come l'insieme \(\{n\in\mathbb N \mid a_n \neq 0\}\). I "polinomi" si possono definire esattamente come tutte e sole le serie formali $a$ il cui supporto è un insieme finito.
Chiaramente, questo definisce un sottoinsieme di \(A[\![ x]\!]\), ed ecco la tua inclusione \(i : A[x] \hookrightarrow A[\![ x]\!]\). Così definito in effetti $A[x]$ è anche un sottoanello di \(A[\![ x]\!]\), e $i$ un omomorfismo di anelli.
"megas_archon":poi si è introdotta la successione x=(0,1,0,0...) e le potenze n-esime ne spostano l'1 a dx di n-volte....Chi ti ha spiegato sta cosa, un ingegnere?
No, aspetta
forse son stata poco chiara ma intendevo dire che definita x=(0,1,0,0...), lo spostamento dell'1 di una posizione a dx era dimostrabile per potenze n-esime per induzione. Di fatto dimostrata tale proprietà si asserisce che "le potenze n-esime ne spostano l'1". Alla fine è comodo definire x così perché mi sembra che esso determini il "segnaposto" di cui parli (vide infra)Spero di aver chiarito.
Per ogni tale funzione $a : NN \to A$ ha senso definire il "supporto" di $a$ come l'insieme \(\{n\in\mathbb N \mid a_n \neq 0\}\). I "polinomi" si possono definire esattamente come tutte e sole le serie formali $a$ il cui supporto è un insieme finito.
Perfetto, però essendo di fatto $x^n$ un segnaposto, non credo di capire cosa mi vieti preso un qualunque elemento di A[[x]] di trovare un n-segnaposto finito d tale per cui il vettore infinito è definitivamente nullo da un certo putno in poi.
Ci sono funzioni a supporto infinito, per esempio quella che vale costantemente 1, cioè la serie formale \(\sum x^n\).
Credo fosse proprio questo che mi sfuggiva in effetti, non mi venivano in mente esempi del genere. Dovevo arrivarci.
Grazie per la pazienza e l'aiuto.
Grazie per la pazienza e l'aiuto.
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