Anello dei polnomi
C'è qualcuno che può rispondere ai miei dubbi sulla teoria degli anelli di polinomi?
Le domande sono le seguenti:
1) Gli anelli a coefficienti in un campo sono tutti P.I.D. ... ma sono anche tutti E.D. visto che vale sempre l'algoritmo della divisione con il grado come norma?
2) L'esistenza di un M.C.D. si dimostra usando l'algoritmo della divisione... ma anche un U.F.D. ha sempre M.C.D. anche se in esso non è detto che valga l'algoritmo visto che non sempre è un E.D. ... come mai?
3) Tutta la teoria sulla divisione tra polinomi, l' M.C.D., il teorema di Ruffini... si riferisce solo a polinomi in un campo (come riporta il mio libro) o a polinomi in generale?
Grazie in anticipo per l'aiuto...
Le domande sono le seguenti:
1) Gli anelli a coefficienti in un campo sono tutti P.I.D. ... ma sono anche tutti E.D. visto che vale sempre l'algoritmo della divisione con il grado come norma?
2) L'esistenza di un M.C.D. si dimostra usando l'algoritmo della divisione... ma anche un U.F.D. ha sempre M.C.D. anche se in esso non è detto che valga l'algoritmo visto che non sempre è un E.D. ... come mai?
3) Tutta la teoria sulla divisione tra polinomi, l' M.C.D., il teorema di Ruffini... si riferisce solo a polinomi in un campo (come riporta il mio libro) o a polinomi in generale?
Grazie in anticipo per l'aiuto...
Risposte
Si parla di anelli di polinomi in una sola variabile, giusto?
1) Sì...l'anello dei polinomio su un campo è un E.D, quindi un PID, quindi un UFD.
2) La definizione di MCD non dipende dall'algoritmo euclideo. L'algoritmo euclideo è solo un modo per calcolarlo. L'esistenza negli UFD è garantita dal fatto che in un UFD le catene ascendenti di ideali principali sono stazionarie, quindi, in sostanza ogni elemento ha un numero finito di divisori, a meno di associati.
3) Dipende: la definizione di MCD sì può dare in un anello commutativo qualsiasi, quindi non c'è bisogno di nessuna struttura particolare sull'anello dei polinomi (anzi, non c'è neanche bisogno che sia un anello di polinomi). Il teorema di Ruffiini (inteso come: $a$ è radice di $f$ se e solo se $f$ è divisibile è per $x-a$) non credo che abbia bisogno della struttura di campo. Di sicuro basta un dominio, ma forse anche un qualsiasi anello commutativo con unità è sufficiente.
1) Sì...l'anello dei polinomio su un campo è un E.D, quindi un PID, quindi un UFD.
2) La definizione di MCD non dipende dall'algoritmo euclideo. L'algoritmo euclideo è solo un modo per calcolarlo. L'esistenza negli UFD è garantita dal fatto che in un UFD le catene ascendenti di ideali principali sono stazionarie, quindi, in sostanza ogni elemento ha un numero finito di divisori, a meno di associati.
3) Dipende: la definizione di MCD sì può dare in un anello commutativo qualsiasi, quindi non c'è bisogno di nessuna struttura particolare sull'anello dei polinomi (anzi, non c'è neanche bisogno che sia un anello di polinomi). Il teorema di Ruffiini (inteso come: $a$ è radice di $f$ se e solo se $f$ è divisibile è per $x-a$) non credo che abbia bisogno della struttura di campo. Di sicuro basta un dominio, ma forse anche un qualsiasi anello commutativo con unità è sufficiente.
Grazie mille per le risposte!
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