Anello dei polinomi in x e y a coefficienti in un campo

[blonde angy]

Ciao!
Ho $K$ un campo e $K[x,y]$ l'anello dei polinomi in x e y a coefficienti in $K$.
Mi si chiede se $K[x,y] $ è un dominio e se è un campo.

I polinomi di $K[x,y]$ sono della forma $a+bx+cy$, giusto?
Quindi ho pensato... Il prodotto $(a+bx+cy)(a'+b'x+c'y)$ è uguale al polinomio nullo solo se i coefficienti del polinomio prodotto sono uguali a 0 per il principio di identità dei polinomi. Ma i coefficienti sono elementi di un campo quindi sono invertibili e non possono essere 0-divisori. Quindi l'unico 0-divisore è il polinomio nullo e quindi $K[x,y]$ è un dominio , è giusto il ragionamento?

Per dimostrare se è un campo non saprei da dove iniziare...

[dissonance]

"blonde angy":I polinomi di $K[x,y]$ sono della forma $a+bx+cy$, giusto?

Non solo quelli! Ce ne sono molti di più. Un polinomio di $K[x, y]$ è una combinazione lineare di monomi $x^hy^k$. Quindi ad esempio $x^2+xy+y^4$ è un elemento di $K[x, y]$.


Un modo un po' sofisticato per procedere è considerare $K[x, y]$ come $K[x][y]$, ovvero come l'anello dei polinomi in $y$ aventi per coefficienti dei polinomi in $x$. Siccome $K[x]$ è un dominio, da qui puoi vedere in modo standard che anche $K[x][y]$ è un dominio, fatto che puoi anche dimostrare direttamente se preferisci.

Per quanto riguarda l'essere campo, ancora: una risposta astratta immediata c'è, e passa dagli ideali di $K[x, y]$. Altrimenti puoi dimostrare direttamente, prendendo un elemento non nullo e vedendo se è invertibile... Ma, ti dico, se già $K[x]$ non è un campo, pensi che $K[x, y]$ possa esserlo? Io proverei direttamente a dimostrare che non è un campo.