Anelli - Unità e divisori dello zero

[Lordofnazgul]

Ciao a tutti ragazzi! a breve incombe l'esame di matematica discreta e ho parecchi dubbi:
(
Trovare unità e divisori dello zero di Z/12 e Z/6 x Z/2

credo che per quanto riguardi i divisori dello zero in Z/12 siano tutti i numeri pari (escluso lo zero?) poichè di ordine non primo.
i divisori dello zero in Z/6 x Z/2 dovrebbero essere tutte quello coppie di elementi per il quale lo zero compare una volta: es: ([0] [1]), ([1] [0]), ([2] [0]) e così via...

mentre sono un pò incasinato per le unità. dovrei trovare forse i numeri che sono invertibili?? se si, come posso fare?? grazie mille!

[blackbishop13]

Sei parecchio incasinato anche con i divisori di $0$.
Come definisci i divisori di $0$ in un generico anello R?
diciamo che sono quegli $a!=0$ in $R$ tali che $EEb!=0 in R$ tale che $ab=0$

se pensi un attimo a questa definizione, capirai che in $ZZ_12$ non sono solo i numeri pari, ma tutti i divisori di $12$ escluso $1$ per ovvi motivi.

in $ZZ_6 $x$ ZZ_2$ i divisori di $0$ sono definiti nello stesso modo, solo che qui lo $0$ è l'elemento $(0,0)$.
la tua caratterizzazione è incompleta, mancano alcuni elementi.

Come potresti fare?

Cosa intendi per "unità"? L'unità in $ZZ_12$ è l'elemento $1$..
se intendi quelli che non sono divisori di $0$ in $ZZ_12$, ovvero gli invertibili, devi trovare gli elementi $a$ tali che $MCD(a,12)=1$

[Lordofnazgul]

"blackbishop13":Sei parecchio incasinato anche con i divisori di $0$.
Come definisci i divisori di $0$ in un generico anello R?
diciamo che sono quegli $a!=0$ in $R$ tali che $EEb!=0 in R$ tale che $ab=0$

se pensi un attimo a questa definizione, capirai che in $ZZ_12$ non sono solo i numeri pari, ma tutti i divisori di $12$ escluso $1$ per ovvi motivi.

in $ZZ_6 $x$ ZZ_2$ i divisori di $0$ sono definiti nello stesso modo, solo che qui lo $0$ è l'elemento $(0,0)$.
la tua caratterizzazione è incompleta, mancano alcuni elementi.

Come potresti fare?

Cosa intendi per "unità"? L'unità in $ZZ_12$ è l'elemento $1$..
se intendi quelli che non sono divisori di $0$ in $ZZ_12$, ovvero gli invertibili, devi trovare gli elementi $a$ tali che $MCD(a,12)=1$

Ciao,

grazie mille per la tua risposta! mi ha decisamente chiarito le idee su questo argomento.
Quindi, ne deduco che i divisori dello zero in Z/6 x Z/2 sono tutti i divisori di 6 e 2 (eslcuso [1] [1])
cioè, più esattamente, ([1] [2]) ([1] [4]) ([2] [1]) e così via giusto(chiaramente escludendo ([5] [1])?
per l'unità io ho riportato il testo d'esame che aveva scritto la mia prof, penso che però intenda gli invertibili, altrimenti con l'unità intesa come il numero 1 sarebbe banale no??
Grazie mille!


edit: anche ([0] [2]), ([0] [4]) ecc sono compresi nell'elenco dei divisori dello zero in Z/6 x Z/2 giusto?:p

[blackbishop13]

"Lordofnazgul":
Quindi, ne deduco che i divisori dello zero in Z/6 x Z/2 sono tutti i divisori di 6 e 2 (eslcuso [1] [1])

questa frase non ha molto senso, non si può parlare di divisori di $6$ e $2$ in $ZZ_6$x$ZZ_2$...
diciamo che dei 12 elementi di $ZZ_6$x$ZZ_2$ ce ne sono solo 3 che non sono zero divisori:
$(0,0)$$(1,1)$$(5,1)$. Tra l'altro di questi, uno è lo zero, gli altri due sono gli invertibili del gruppo.

in $ZZ_12$ puoi trovare gli invertibili (credo sia questo che il tuo problema voleva) cercando i numeri coprimi con 12, cioè come ho detto gli $a$ tali che $MCD(12,a)=1$. Quindi quanti e quali sono in $ZZ_12$?

N.B. dato un $n$ qualsiasi, esiste una funzione la funzione $\phi$ di Eulero che ti dice quanti sono i numeri coprimi con $n$.

[Lordofnazgul]

"blackbishop13":[quote="Lordofnazgul"]
Quindi, ne deduco che i divisori dello zero in Z/6 x Z/2 sono tutti i divisori di 6 e 2 (eslcuso [1] [1])

questa frase non ha molto senso, non si può parlare di divisori di $6$ e $2$ in $ZZ_6$x$ZZ_2$...
diciamo che dei 12 elementi di $ZZ_6$x$ZZ_2$ ce ne sono solo 3 che non sono zero divisori:
$(0,0)$$(1,1)$$(5,1)$. Tra l'altro di questi, uno è lo zero, gli altri due sono gli invertibili del gruppo.

in $ZZ_12$ puoi trovare gli invertibili (credo sia questo che il tuo problema voleva) cercando i numeri coprimi con 12, cioè come ho detto gli $a$ tali che $MCD(12,a)=1$. Quindi quanti e quali sono in $ZZ_12$?

N.B. dato un $n$ qualsiasi, esiste una funzione la funzione $\phi$ di Eulero che ti dice quanti sono i numeri coprimi con $n$.[/quote]

quindi sostanzialmente da quanto ho capito in Z/6 x Z/2 sono invertibili i numeri che non sono divisori dello zero?? (in questo caso [1] [1] e ([1] [5]) giusto??
Poi in Z/12 devo trovare i numeri che sono coprimi con n, quindi direi [5],[7],[11] giusto?

[blackbishop13]

"Lordofnazgul":
quindi sostanzialmente da quanto ho capito in Z/6 x Z/2 sono invertibili i numeri che non sono divisori dello zero?? (in questo caso [1] [1] e ([1] [5]) giusto??
Poi in Z/12 devo trovare i numeri che sono coprimi con n, quindi direi [5],[7],[11] giusto?

Ti dirò di più, in un anello finito ogni elemento diverso dall'elemento neutro è o invertibile o 0-divisore. è ovviamente un o esclusivo.
tra i numeri coprimi con 12 manca il numero coprimo con tutti, ovvero [1]. bada che non è superfluo.