Anelli quoziente (esercizio)
Salve a tutti,
avrei un paio di domande circa il seguente esercizio:
Sia dato l'anello $A=ZZ$ e l'ideale $I=(7-i)$.
a) $I$ è massimale?
b) $\bar 3$ è invertibile nell'anello quoziente $A/I$?
c) Qual è la cardinalità dell'anello quoziente $A/I$?
a) Ho ragionato in questo modo: ho che $ZZ$ è un PID (Anello ad Ideali Principali) e in un PID vale la seguente relazione (dove $(a)$ è l'ideale generato da $a$):
$(a)$ massimale $hArr$ $a$ irriducile $hArr$ $a$ primo
Ho trovato che $50 in ZZ$, $50=25*2$ e né $2$ né $25$ stanno in $I$.
Da ciò è corretto dedurre che I non può essere massimale? Fila?
b) è corretto affermare che siccome $MCD(3,(7-i))=1 rArr$ $3$ è invertibile?
Altrimenti, io so che dato $A$ anello e $I$ ideale, $\bar a ={a+b : b in A}$. Mi chiedo, la notazione è sempre additiva?
In tal caso avrei $\bar 3 = {3 + (7-i)(a+ib) : (a+ib) in ZZ}$, quindi per provare l'irriducibilità dovrei risolvere il sistema che deriva dall'imposizione $3+(7-i)(a+ib)=1$, ma vengono calcoli parecchio noiosi e sinceramente non so nemmeno se portano a qualcosa di concreto.
c) a questa non so rispondere, o meglio, ho trovato un esercizio analogo che mi porta ad affermare che abbia cardinalità $50$, ma l'unica analogia che ho trovato è con la norma di $(7-i)$; non ho mai sentito di una cosa simile, ma potrebbe esser pertinente o è solo un collegamento illusorio?
Grazie in anticipo!!
avrei un paio di domande circa il seguente esercizio:
Sia dato l'anello $A=ZZ$ e l'ideale $I=(7-i)$.
a) $I$ è massimale?
b) $\bar 3$ è invertibile nell'anello quoziente $A/I$?
c) Qual è la cardinalità dell'anello quoziente $A/I$?
a) Ho ragionato in questo modo: ho che $ZZ$ è un PID (Anello ad Ideali Principali) e in un PID vale la seguente relazione (dove $(a)$ è l'ideale generato da $a$):
$(a)$ massimale $hArr$ $a$ irriducile $hArr$ $a$ primo
Ho trovato che $50 in ZZ$, $50=25*2$ e né $2$ né $25$ stanno in $I$.
Da ciò è corretto dedurre che I non può essere massimale? Fila?
b) è corretto affermare che siccome $MCD(3,(7-i))=1 rArr$ $3$ è invertibile?
Altrimenti, io so che dato $A$ anello e $I$ ideale, $\bar a ={a+b : b in A}$. Mi chiedo, la notazione è sempre additiva?
In tal caso avrei $\bar 3 = {3 + (7-i)(a+ib) : (a+ib) in ZZ}$, quindi per provare l'irriducibilità dovrei risolvere il sistema che deriva dall'imposizione $3+(7-i)(a+ib)=1$, ma vengono calcoli parecchio noiosi e sinceramente non so nemmeno se portano a qualcosa di concreto.
c) a questa non so rispondere, o meglio, ho trovato un esercizio analogo che mi porta ad affermare che abbia cardinalità $50$, ma l'unica analogia che ho trovato è con la norma di $(7-i)$; non ho mai sentito di una cosa simile, ma potrebbe esser pertinente o è solo un collegamento illusorio?
Grazie in anticipo!!
Risposte
Potrei prendere una grossa cantonata, specialmente a quest'ora, però mi sembra di notare che hai fatto cose senza utilità appartente.
Voglio dire, se il tuo ideale è \(I=(7-i)\), che t'importa di \(25\)? Affinché \(I\) sia massimale, si deve provare che \(7-i\) è un irriducibile di \(\mathbb{Z} [ i ]\) ovvero un primo di Gauss. Tutto sommato, ciò si verifica facilmente: in virtù di questo bellissimo teorema:
Theor. Un numero primo positivo \(p\) si scrive come somma di due quadrati di interi, ossia
\[p=a^2+b^2\]
per qualche \(a,b\in\mathbb{Z}\), se e soltanto se \(p=2\) o \(p\equiv 1\,\mathbb{mod} 4\).
sappiamo che un \(\pi\in \mathbb{Z}\) è un primo di Gauss se e soltanto se, detta \(p\) la sua norma, \(p\) è un intero primo con\(p=2\) o \(p\equiv 1\,\mathbb{mod} 4\).
Nel nostro caso, dunque, \(|7-i|=49+1=50\) e \(7-i\) non è un primo di Gauss. Dunque non è nemmeno un irriducibile, e di conseguenza \(I\) non sarà massimale.
Edit: noto solo ora che \(50\) è in effetti la norma di \(7-i\) e che forse la stavi usando per provare che esso non è primo. In genere è un'ottima strada, anche in questo caso avrebbe funzionato.
Voglio dire, se il tuo ideale è \(I=(7-i)\), che t'importa di \(25\)? Affinché \(I\) sia massimale, si deve provare che \(7-i\) è un irriducibile di \(\mathbb{Z} [ i ]\) ovvero un primo di Gauss. Tutto sommato, ciò si verifica facilmente: in virtù di questo bellissimo teorema:
Theor. Un numero primo positivo \(p\) si scrive come somma di due quadrati di interi, ossia
\[p=a^2+b^2\]
per qualche \(a,b\in\mathbb{Z}\), se e soltanto se \(p=2\) o \(p\equiv 1\,\mathbb{mod} 4\).
sappiamo che un \(\pi\in \mathbb{Z}\) è un primo di Gauss se e soltanto se, detta \(p\) la sua norma, \(p\) è un intero primo con\(p=2\) o \(p\equiv 1\,\mathbb{mod} 4\).
Nel nostro caso, dunque, \(|7-i|=49+1=50\) e \(7-i\) non è un primo di Gauss. Dunque non è nemmeno un irriducibile, e di conseguenza \(I\) non sarà massimale.
Edit: noto solo ora che \(50\) è in effetti la norma di \(7-i\) e che forse la stavi usando per provare che esso non è primo. In genere è un'ottima strada, anche in questo caso avrebbe funzionato.
Ciao!
Non conoscevo quel teorema, in effetti può tornare molto utile!
Si ho preso $50$ proprio perché è la norma di $(7-i)$ ed da quanto ho sempre verificato le norme tornano molto utili come "numeri particolari". L'ho scomposto nel primo modo che mi è venuto in mente per verificare se uno dei fattori appartenesse ancora all'ideale o no.
Però come dici tu è molto più immediato!
Riguardo al teorema:
!
è utile soltanto per gli interi di Gauss?
Non conoscevo quel teorema, in effetti può tornare molto utile!
Si ho preso $50$ proprio perché è la norma di $(7-i)$ ed da quanto ho sempre verificato le norme tornano molto utili come "numeri particolari". L'ho scomposto nel primo modo che mi è venuto in mente per verificare se uno dei fattori appartenesse ancora all'ideale o no.
Però come dici tu è molto più immediato!
Riguardo al teorema:
!
"Richard_Dedekind":
Theor. Un numero primo positivo p si scrive come somma di due quadrati di interi, ossia
p=a2+b2
per qualche a,b∈Z, se e soltanto se p=2 o p≡1mod4.
è utile soltanto per gli interi di Gauss?
Be', si tratta solamente di un risultato intermedio per il famoso Problema di Waring in teoria dei numeri.
Tale problema chiede di determinare, dato \(n\in\mathbb{N}\), se esiste un naturale \(\nu\) tale che ogni numero naturale si possa esprimere come somma di \(\nu\) potenze \(n\)-esime di numeri naturali. Il problema dell'esistenza fu risolto completamente da Hilbert, ed in seguito furono trovate espressioni esplicite per tale \(\nu\) in funzione di \(n\).
Per quanto riguarda altre applicazioni, ora come ora non saprei dirti.
Tale problema chiede di determinare, dato \(n\in\mathbb{N}\), se esiste un naturale \(\nu\) tale che ogni numero naturale si possa esprimere come somma di \(\nu\) potenze \(n\)-esime di numeri naturali. Il problema dell'esistenza fu risolto completamente da Hilbert, ed in seguito furono trovate espressioni esplicite per tale \(\nu\) in funzione di \(n\).
Per quanto riguarda altre applicazioni, ora come ora non saprei dirti.
Va benissimo, figurati!
Mi chiedevo se ci fossero altre applicazioni sempre nello stesso ambito, sullo studio di anelli ed ideali.
Mi è già molto utile cosi!
Mi chiedevo se ci fossero altre applicazioni sempre nello stesso ambito, sullo studio di anelli ed ideali.
Mi è già molto utile cosi!
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