Anelli noetheriani
Salve a tutti, devo dimostrare questa proposizione:
Se $A$ è un anello commutativo ed è prodotto diretto dei suoi ideali $A_1,... A_n$ . $A$ è noetheriano se e solo se ciascun $A_i$ è noetheriano.
l'implicazione "se ciascun $A_i$ è noetheriano allora $A$ è noetheriano" l'ho dimostrata cosi:
Per ipotesi $A$ è prodotto diretto dei suoi ideali $A_1,... A_n$ , cioè:
$A=A_1+A_2+...+A_n$ ;
$A_i \cap (A_1+A_2+...+A_{i-1}+A_{i+1}+...+A_n)=0$
Siano $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ noetheriani, per ogni $i,j\in \{ 1,...,n\}$, tali che $A=A_i+A_j$ e $A_i \cap A_j=\{0\}$. Consideriamo ora il quoziente, risulta:
$\frac {A} {A_i} = \frac {A_i+A_j} {A_i} ≃\frac {A_j} {A_i \cap A_j}= \frac {A_j} {\{0\}} ≃ A_j$
Ne segue che il quoziente $A/A_i$ è noetheriano e, (per la proposizione 1) , lo è anche $A$ .
(Proposizione 1 : Sia $A$ un anello commutativo e $H$ un ideale di $A$. Se $A$ è noetheriano, anche il quoziente $A/H$ è noetheriano. Viceversa, se$H$ e $A/H$ sono anelli noetheriani, lo è anche $A$).
per quanto riguarda l'altra implicazione non so proprio come proseguire.
Se $A$ è un anello commutativo ed è prodotto diretto dei suoi ideali $A_1,... A_n$ . $A$ è noetheriano se e solo se ciascun $A_i$ è noetheriano.
l'implicazione "se ciascun $A_i$ è noetheriano allora $A$ è noetheriano" l'ho dimostrata cosi:
Per ipotesi $A$ è prodotto diretto dei suoi ideali $A_1,... A_n$ , cioè:
$A=A_1+A_2+...+A_n$ ;
$A_i \cap (A_1+A_2+...+A_{i-1}+A_{i+1}+...+A_n)=0$
Siano $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ noetheriani, per ogni $i,j\in \{ 1,...,n\}$, tali che $A=A_i+A_j$ e $A_i \cap A_j=\{0\}$. Consideriamo ora il quoziente, risulta:
$\frac {A} {A_i} = \frac {A_i+A_j} {A_i} ≃\frac {A_j} {A_i \cap A_j}= \frac {A_j} {\{0\}} ≃ A_j$
Ne segue che il quoziente $A/A_i$ è noetheriano e, (per la proposizione 1) , lo è anche $A$ .
(Proposizione 1 : Sia $A$ un anello commutativo e $H$ un ideale di $A$. Se $A$ è noetheriano, anche il quoziente $A/H$ è noetheriano. Viceversa, se$H$ e $A/H$ sono anelli noetheriani, lo è anche $A$).
per quanto riguarda l'altra implicazione non so proprio come proseguire.
Risposte
Induzione su $n$?
si ci avevo pensato ma non riesco a ragionarci ... cioè non riesco ad impostare la dimostrazione 
Parti da $n=2$.
Altrimenti, ricordati come son fatti gli ideali in $A$ e cosa significa che $A$ sia il prodotto degli $A_i$.
"fmnq":
Altrimenti, ricordati come son fatti gli ideali in $A$ e cosa significa che $A$ sia il prodotto degli $A_i$.
allora essendo $A$ noetheriano è finitamente generabile così come i suoi ideali..... ma non penso che basti!
"margherita.ciampi":
allora essendo $A$ noetheriano è finitamente generabile così come i suoi ideali..... ma non penso che basti!
Nella tua dimostrazione hai mostrato che nel caso $A$ sia prodotto di $A_1$ e $A_2$, entrambi sono quozienti di $A$. Quindi non sono "solo" ideali. Cos'altro sono?
Se $A$ è in generale un prodotto diretto di suoi ideali, puoi estendere il ragionamento?
[quote=margherita.ciampi]
Siano $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ noetheriani, per ogni $i,j\in \{ 1,...,n\}$, tali che $A=A_i+A_j$ e $A_i \cap A_j=\{0\}$. Consideriamo ora il quoziente, risulta:
$\frac {A} {A_i} = \frac {A_i+A_j} {A_i} ≃\frac {A_j} {A_i \cap A_j}= \frac {A_j} {\{0\}} ≃ A_j$
per la proposizione 1 essendo $A$ noetheriano e $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ si ha anche che i quozienti $A/A_i=A_j$ e $A/A_j=A_i$ sono noetheriani. Ne segue che, essendo $A$ prodotto diretto dei suoi ideali essi saranno tutti noetheriani???
Siano $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ noetheriani, per ogni $i,j\in \{ 1,...,n\}$, tali che $A=A_i+A_j$ e $A_i \cap A_j=\{0\}$. Consideriamo ora il quoziente, risulta:
$\frac {A} {A_i} = \frac {A_i+A_j} {A_i} ≃\frac {A_j} {A_i \cap A_j}= \frac {A_j} {\{0\}} ≃ A_j$
per la proposizione 1 essendo $A$ noetheriano e $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ si ha anche che i quozienti $A/A_i=A_j$ e $A/A_j=A_i$ sono noetheriani. Ne segue che, essendo $A$ prodotto diretto dei suoi ideali essi saranno tutti noetheriani???
"margherita.ciampi":
Siano $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ noetheriani, per ogni $i,j\in \{ 1,...,n\}$, tali che $A=A_i+A_j$ e $A_i \cap A_j=\{0\}$. Consideriamo ora il quoziente, risulta:
$\frac {A} {A_i} = \frac {A_i+A_j} {A_i} ≃\frac {A_j} {A_i \cap A_j}= \frac {A_j} {\{0\}} ≃ A_j$
per la proposizione 1 essendo $A$ noetheriano e $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ si ha anche che i quozienti $A/A_i=A_j$ e $A/A_j=A_i$ sono noetheriani. Ne segue che, essendo $A$ prodotto diretto dei suoi ideali essi saranno tutti noetheriani???
Sì, sono noetheriani gli ideali "fattori" nella formulazione di $A$ come prodotto diretto. Più precisamente, la condizione di $A$ di essere prodotto diretto degli $A_i$, che è quella che hai scritto tu, può essere vista proprio come un prodotto diretto, cioè
\[
A \cong \prod_{i=1}^n{A_i},
\]
nel senso che sappiamo che esistono degli $e_i \in A_i$ tali che $1 = e_1 + \cdots + e_n$, e che soddisfano le relazioni
\[
e_i e_j = 0
\quad \text{per $i \ne j$},
\qquad
e_i^2 = e_i,
\qquad
A_i = Ae_i.
\]
In questo senso gli $A_i$ sono a tutti gli effetti degli anelli, se consideriamo $e_i$ come unità, e $A$ è isomorfo al loro prodotto diretto. Per ogni $i \in \{1, ..., n\}$ fissato, il prodotto degli $A_j$, per $j \ne i$, è un ideale di $A$, ed è proprio il kernel della proiezione canonica $A \to A_i$, quindi $A_i$ è sempre un anello quoziente di $A$, che di conseguenza deve essere Noetheriano per la proposizione 1. (In realtà da qui puoi mostrare anche l'implicazione che hai già dimostrato.)
ok, tutto molto chiaro grazie mille 
! Se invece volessi procedere per induzione su $n$?
! Se invece volessi procedere per induzione su $n$?
"margherita.ciampi":
ok, tutto molto chiaro grazie mille
In realtà l'induzione serve per mostrare il se e solo se, e pure il discorso che ho fatto prima è per il se e solo se.
Il punto del discorso è che stiamo usando noetheriano in modo ambiguo. Citandoti, hai scritto
"margherita.ciampi":
Proposizione 1 : Sia $A$ un anello commutativo e $H$ un ideale di $A$. Se $A$ è noetheriano, anche il quoziente $A // H$ è noetheriano. Viceversa, se $H$ e $A // H$ sono anelli noetheriani, lo è anche $A$.
tuttavia, essendo $H$ un ideale di $A$, non è del tutto legittimo dire che sia un "anello noetheriano". Però è qualcosa di noetheriano: un $A$-modulo noetheriano, che significa che ogni catena ascendente di $A$-sottomoduli è stazionaria. Nel nostro caso gli $A$-sottomoduli non sono altro che gli ideali che contiene. Inoltre, per $A$ essere un anello noetheriano è equivalente ad essere un $A$-modulo noetheriano. Quindi in questo caso possiamo tradurre la proposizione 1 in termini di $A$-moduli noetheriani.
Nella proposizione 1 manca una cosa: se $A$ è un anello noetheriano, puoi mostrare anche che ogni ideale $H$ è un $A$-modulo noetheriano. (Parti dalla definizione...)
Da cui segue...
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