Anelli esponenziali
Chiamiamo anello esponenziale un anello $\mathbb{A}=(A,+,\cdot)$ unitario con caratteristica zero (non necessariamente commutativo) dotato di una funzione $E:A \rightarrow A$ tale che: $E(x+y)=E(x)E(y) \; \forall x,y \in A$ non banale (cioè che non sia identicamente nulla o unitaria).
Sia $\mathcal{P}=E(A)$ il suo codominio. Si dimostra facilmente che $\mathcal{P}$ è un sottogruppo commutativo di $(A,\cdot)$.
Altri due sotto gruppi commutativi sono il centro di $\mathbb{A}$ : $\mathcal{C}=\{x\,: xa=ax\; \forall a \in A\}$ e l'insieme di tutti gli elementi che commutano tra loro: $\mathcal{B}=\{x,y \in A \,: xy=yx\}$.
Mi chiedo: Quale relazione esiste tra $\mathcal{C},\mathcal{P},\mathcal{B}$ ?
Dovrebbe essere: $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$ e $\mathcal{P} \subset \mathcal{B}$ con l'inclusione stretta se in $\mathcal{B}$ ci sono elementi non invertibili (ma è possibile?).
e può essere $\mathcal{C} \subset \mathcal{P}$ (con inclusione stretta)?
Sia $\mathcal{P}=E(A)$ il suo codominio. Si dimostra facilmente che $\mathcal{P}$ è un sottogruppo commutativo di $(A,\cdot)$.
Altri due sotto gruppi commutativi sono il centro di $\mathbb{A}$ : $\mathcal{C}=\{x\,: xa=ax\; \forall a \in A\}$ e l'insieme di tutti gli elementi che commutano tra loro: $\mathcal{B}=\{x,y \in A \,: xy=yx\}$.
Mi chiedo: Quale relazione esiste tra $\mathcal{C},\mathcal{P},\mathcal{B}$ ?
Dovrebbe essere: $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$ e $\mathcal{P} \subset \mathcal{B}$ con l'inclusione stretta se in $\mathcal{B}$ ci sono elementi non invertibili (ma è possibile?).
e può essere $\mathcal{C} \subset \mathcal{P}$ (con inclusione stretta)?
Risposte
Correggo il post precedente in cui c'è un errore !
Non è vero che $\mathcal{B}$ è un sottogruppo e anche la sua definizione non è corretta. Intendo per $\mathcal{B}$ l'insieme degli elementi di $\mathbb{A}$ che commutano tutti tra loro. Potrei definirlo con: $\mathcal{B}=\{x \in \mathcal{C}$ o $(x \in A$ e $xy=yx \quad \forall y \in \mathcal{B})\}$. Risulta comunque che $\mathcal{B}$ è un monoide ( e non un gruppo) rispetto alla moltiplicazione in $\mathbb{A}$ e direi anche un sottoanello di $\mathbb{A}$.
Il problema di ordinare rispetto all'inclusione di insiemi $\mathcal{C}$,$\mathcal{P}$ e $\mathcal{B}$ resta comunque lo stesso.
"eminova":
Altri due sotto gruppi commutativi sono il centro di A : C={x,:xa=ax;∀a∈A} e l'insieme di tutti gli elementi che commutano tra loro: B={x,y∈A,:xy=yx}.
Non è vero che $\mathcal{B}$ è un sottogruppo e anche la sua definizione non è corretta. Intendo per $\mathcal{B}$ l'insieme degli elementi di $\mathbb{A}$ che commutano tutti tra loro. Potrei definirlo con: $\mathcal{B}=\{x \in \mathcal{C}$ o $(x \in A$ e $xy=yx \quad \forall y \in \mathcal{B})\}$. Risulta comunque che $\mathcal{B}$ è un monoide ( e non un gruppo) rispetto alla moltiplicazione in $\mathbb{A}$ e direi anche un sottoanello di $\mathbb{A}$.
Il problema di ordinare rispetto all'inclusione di insiemi $\mathcal{C}$,$\mathcal{P}$ e $\mathcal{B}$ resta comunque lo stesso.
Mi chiedevo cosa vuol dire un “sottogruppo di $(A,\cdot)$”.
Perche’ $(A,\cdot)$ non e’ un gruppo.
Per esempio, secondo te $\{0\}$ e’ un sottogruppo di $(A,\cdot)$?
Similmente, $\{1\}$ e’ un sottogruppo di $(A,\cdot)$?
Abbiamo a che fare con sottogruppi disgiunti?
Perche’ $(A,\cdot)$ non e’ un gruppo.
Per esempio, secondo te $\{0\}$ e’ un sottogruppo di $(A,\cdot)$?
Similmente, $\{1\}$ e’ un sottogruppo di $(A,\cdot)$?
Abbiamo a che fare con sottogruppi disgiunti?
L'insieme \(B\) è mal definito. Insomma, \((A,\cdot)\) possiede "sottogruppi" abeliani massimali (con sottogruppo intendo sottomonoide in cui ogni elemento possiede inverso) ma in generale ne possiede più di uno. Siccome ogni gruppo è unione dei suoi sottogruppi abeliani massimali allora ogni gruppo non-abeliano ne possiede almeno 3.
Se passiamo ai sottomonoidi abeliani massimali allora questi sono senza dubbio chiusi per la somma di \(\displaystyle A \) (cosa penso falsa nel caso dei sottogruppi ma dovrei ragionarci sopra).
In ogni caso l'immagine di \(\displaystyle E \) è senza dubbio un sottogruppo abeliano di \((A,\cdot)\) e contenuto quindi in uno di questi sottogruppi abeliani massimali.
Il centro dovrebbe essere contenuto in ogni sottogruppo abeliano massimale (non ci ho ragionato troppo a fondo).
Non comprendo comunque il punto della tua discussione.
Se passiamo ai sottomonoidi abeliani massimali allora questi sono senza dubbio chiusi per la somma di \(\displaystyle A \) (cosa penso falsa nel caso dei sottogruppi ma dovrei ragionarci sopra).
In ogni caso l'immagine di \(\displaystyle E \) è senza dubbio un sottogruppo abeliano di \((A,\cdot)\) e contenuto quindi in uno di questi sottogruppi abeliani massimali.
Il centro dovrebbe essere contenuto in ogni sottogruppo abeliano massimale (non ci ho ragionato troppo a fondo).
Non comprendo comunque il punto della tua discussione.
"Stickelberger":
Mi chiedevo cosa vuol dire un “sottogruppo di $(A,\cdot)$”.
Perche’ $(A,\cdot)$ non e’ un gruppo.
Vero! In effetti avevo in mente anch'io, ma non l'ho scritto:
"vict85":
(con sottogruppo intendo sottomonoide in cui ogni elemento possiede inverso)
Diciamo quindi che $\mathcal{P}$ è sottomonoide che è un gruppo commutativo rispetto al prodotto in $\mathbb{A}$.
"vict85":
L'insieme B è mal definito.
In effetti riesco a darne solo una definizione ricorsiva del tipo $\mathcal{B}=\{x \in A : xy=yx \quad \forall y \in \mathcal{B}\}$. Che è poco maneggevole però dovrebbe essere accettabile visto che non mancano esempi di insiemi definiti ricorsivamente.
Certamente non è vuoto perché $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$. Si riesce a darne una definizione non ricorsiva?
"vict85":
Non comprendo comunque il punto della tua discussione.
Vorrei capire se tra questi tre insiemi esiste una qualche relazione di inclusione o di uguaglianza.
In sostanza: quali sono vere tra queste possibili relazioni:
$\mathcal{C} \subset \mathcal{P}$ oppure $\mathcal{P} \subset \mathcal{C}$ oppure $\mathcal{C} = \mathcal{P}$ oppure nessuna di queste?
E lo stesso per $\mathcal{P}$ e $\mathcal{B}$.
Il tutto è motivato dall'ipotesi che l'esistenza di una funzione "esponenziale" caratterizzi in qualche modo l'anello su cui è definita quando l'equazione funzionale $E(x+y)=E(x)E(y)$ è valida $\forall x,y \in A$.
L'insieme B non lo riesci a definire perché non esiste. Insomma quello che ho cercato di spiegarti è che esistono più sottomonoidi massimali rispetto all'essere abeliani e non uno solo.
Grazie! Ho capito 
Adesso devo pensarci un po'.
Ma intanto cosa si può dire della relazione tra $\mathcal{P}$ e $\mathcal{C}$?
Adesso devo pensarci un po'.
Ma intanto cosa si può dire della relazione tra $\mathcal{P}$ e $\mathcal{C}$?
(con sottogruppo intendo sottomonoide in cui ogni elemento possiede inverso)
Quindi se $G$ e’ un sottogruppo e $a\in G$ e’ un suo elemento,
allora $a$ e’ invertibile in $A$ e il suo inverso $a^{-1}$ sta anche in $G$.
E quindi l’elemento $1=a\cdot a^{-1}$ e’ sempre in $G$. Giusto?
Allora $E(A)$ non e’ in generale un sottogruppo. Ecco un controesempio.
Sia $A=ZZ\times ZZ$ e sia $E(n,m)=(0,1)$ per ogni $(n,m)\in ZZ\times ZZ$.
Allora $E(A) =\{(0,1)\}$ non contiene l’elemento $1$ di $A$ (vale a dire $(1,1)$).
"Stickelberger":
Ecco un controesempio.
Sia $A=ZZ\times ZZ$ e sia $E(n,m)=(0,1)$ per ogni $(n,m)\in ZZ\times ZZ$.
Allora $E(A) =\{(0,1)\}$ non contiene l’elemento $1$ di $A$ (vale a dire $(1,1)$).
Già. Direi che è un caso particolare della situazione generale:
Da $E(0)=E(0+0)=E(0)E(0)$ di deduce che $E(0)=e$ deve essere un idempotente. Si verifica poi che $\mathcal{P}$ è un gruppo con $e$ come elemento neutro perché:
$\mathcal{P}$ è chiuso rispetto al prodotto di $\mathbb{A}$ per definizione e eredita la proprietà associativa. Per l'elemento neutro si ha: $\forall a \in A$ : $E(a)=E(a+0)=E(a)e=eE(a)$. E per l'inverso si ha: $\forall a \in A$ : $ E(a)^{-1}=E(-a)$ essendo : $ E(a)E(-a)=E(a-a)=E(0)=e$.
Quindi l'elemento neutro di $(\mathcal{P}, \cdot)$ è in generale diverso dall'elemento neutro di $(\mathbb{A},\cdot)$.
Da questo si ricava:
$E(a)=eE(a) \Rightarrow (1-e)E(a)=0$ quindi si hanno due possibilità:
a) $1-e=0 \Rightarrow e=1$
b) $1-e$ è divisore dello zero e $E(a)\in$ Ann$(1-e)$.
Quindi ci sono due tipi di funzioni esponenziali: quelle che hanno $E(0)=1$, chiamiamole $E_1$.
Quelle che si costruiscono in modo che $E(0)$ è un elemento idempotente diverso da $1$, chiamiamole $E_e$.
Moltiplicando una funzione tipo $E_1$ per un idempotente si ottiene una funzione tipo $E_e$. (Mi viene da ipotizzare che tutte le $E_e$ sono di questo tipo, ma non riesco a dimostrarlo).
Quindi le possibili funzioni esponenziali su un anello sono una classe piuttosto ampia.
Comunque, anche concentrandosi su una singola funzione di tipo $E_1$ e fissandone i valori ponendo ad esempio $E_1(1)=a$ non riesco a capire che relazione ci sia tra il suo codominio e il centro $\mathcal{C}$ dell'anello.
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