Anelli e ideali
Ciao a tutti...sul mio libro di algebra c'è scirtto
" Sia R un anello commutativo con un sottoinsieme non vuoto $ A sub R $. L'insieme (A)= $ {sum_(i = 1)^(n)riai | n in N ,r1,...,rn in R, a1,...,an in A } $ è il più piccolo ideale di R che contiene A".
Io però non riesco a capire come si fa a dimostrare che è proprio il più piccolo ideale di R che contiene A!
grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi..
" Sia R un anello commutativo con un sottoinsieme non vuoto $ A sub R $. L'insieme (A)= $ {sum_(i = 1)^(n)riai | n in N ,r1,...,rn in R, a1,...,an in A } $ è il più piccolo ideale di R che contiene A".
Io però non riesco a capire come si fa a dimostrare che è proprio il più piccolo ideale di R che contiene A!
grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi..
Risposte
Supposto che tu abbia dimostrato che [tex]$(A)$[/tex] sia un ideale, consideri un altro ideale [tex]$I$[/tex] tale che [tex]$A\subseteq I\subset(A)$[/tex] e dimostri che un tale ideale non esiste! Sottolineo che ho supposto [tex]$I\neq(A)$[/tex]!
Per dimostrare che (A) è un ideale devo far vedere che valgono le proprietà generali 1) per a,b $ in (A) $ si ha a+b$ in (A) $ ; 2) per $ a in (A)$ e $ r in R $ si ha ra$ in (A) $ . Ovvero:
1) r1a1+r2a2 $ in (A) $
2) ra $ in (A) $
è giusto fare così??
1) r1a1+r2a2 $ in (A) $
2) ra $ in (A) $
è giusto fare così??
Per definizione di [tex]$(A)$[/tex] si ha che [tex]$\forall a\in A;\,r\in R,\,ra\in(A)$[/tex], quindi per soddisfare la prima richiesta degli ideali basta dimostrare che la somma di 2 elementi di [tex]$(A)$[/tex] è in [tex]$A$[/tex]; essendo tali [tex]$\sum_{i=1}^nr_ia_i$[/tex] e [tex]$\sum_{j=1}^ms_jb_j$[/tex] è[tex]$\sum_{i=1}^nr_ia_i+\sum_{j=1}^ms_jb_j=\sum_{k=1}^{m+n}t_kc_k\in(A)$[/tex] ove [tex]$\begin{cases}i\in\{1\hdots n\},\,t_i=r_i;\,c_i=a_i\\j\in\{1\hdots m\},\,t_{j+n}=r_j;\,c_{j+n}=b_j\end{cases}$[/tex], così si esplicita il ragionamento al punto 1.
Per soddisfare alla seconda richiesta degli ideali vabbene quello che vuoi calcolare al punto 2, però lo devi calcolare e non andare ad intuito.
P.S.: Impara ad usare meglio le formule (click!).
Per soddisfare alla seconda richiesta degli ideali vabbene quello che vuoi calcolare al punto 2, però lo devi calcolare e non andare ad intuito.
P.S.: Impara ad usare meglio le formule (click!).
ok grazie! Allora per soddisfare la seconda richiesta faccio:
$ r xx \sum_{i=1}^nr_ia_i$= ...??
e per dimostrare che (A) è il più piccolo ideale che contiene A come scelgo quest'altro ideale I?? cioè esattamente come lo scrivo I?
$ r xx \sum_{i=1}^nr_ia_i$= ...??
e per dimostrare che (A) è il più piccolo ideale che contiene A come scelgo quest'altro ideale I?? cioè esattamente come lo scrivo I?
Mi permetto di dirti che ti sei pers* in un bicchiere d'acqua! 
Dalla tua notazione (o quasi) [tex]$r\cdot\sum_{i=1}^nr_ia_i=\sum_{i=1}^nrr_ia_i=\sum_{i=1}^ns_ia_i\in(A)$[/tex] ove [tex]$\forall i\in\{1\hdots n\},\,s_i=r\cdot r_i$[/tex].
Sull'ultimo punto t'ho indicato al primo post (hai scritto tu) come fare: l'ideale [tex]$I$[/tex] deve solo soddisfare l'essere un ideale contenente [tex]$A$[/tex] e contenuto strettamente in [tex]$(A)$[/tex], imponendo tali condizioni ad [tex]$I$[/tex] hai l'asserto.
Dalla tua notazione (o quasi) [tex]$r\cdot\sum_{i=1}^nr_ia_i=\sum_{i=1}^nrr_ia_i=\sum_{i=1}^ns_ia_i\in(A)$[/tex] ove [tex]$\forall i\in\{1\hdots n\},\,s_i=r\cdot r_i$[/tex].Sull'ultimo punto t'ho indicato al primo post (hai scritto tu) come fare: l'ideale [tex]$I$[/tex] deve solo soddisfare l'essere un ideale contenente [tex]$A$[/tex] e contenuto strettamente in [tex]$(A)$[/tex], imponendo tali condizioni ad [tex]$I$[/tex] hai l'asserto.
ok grazie..mi ero proprio persa in un bicchier d'acqua 
! Ma come posso dimostrare che un ideale I tale che $ A sube I sub (A) $ non esiste?? 
! Ma come posso dimostrare che un ideale I tale che $ A sube I sub (A) $ non esiste??
Ragioni per assurdo; mi ripeto: ipotizzi che esista, ti calcoli i suoi elementi da [tex]$A$[/tex] e vedi che esso è [tex]$(A)$[/tex] in assurdo con l'iniziale diversità!
ok..vediamo se ho capito:
Per ipotesi I contiene A ed è contenuto in (A) , quindi $ {a_1,..,a_n} in I $ e anche $ sum_(i = 1)^(n) a_i in I $ (prima proprietà degli ideali) e anche $ r * {a_1,...,a_n } in I $ per un qualsiasi $ r in R $ (seconda proprietà). Ovvero $ sum_(i = 1)^(n) r_ia_i in I $ , il che vuol dire che I è proprio (A) ma avevo supposto $ I != (A) $ quindi ho un assurdo. Perciò non esiste un tale ideale I, e dunque (A) è il minimo ideale contenente A.
è giusto?
Per ipotesi I contiene A ed è contenuto in (A) , quindi $ {a_1,..,a_n} in I $ e anche $ sum_(i = 1)^(n) a_i in I $ (prima proprietà degli ideali) e anche $ r * {a_1,...,a_n } in I $ per un qualsiasi $ r in R $ (seconda proprietà). Ovvero $ sum_(i = 1)^(n) r_ia_i in I $ , il che vuol dire che I è proprio (A) ma avevo supposto $ I != (A) $ quindi ho un assurdo. Perciò non esiste un tale ideale I, e dunque (A) è il minimo ideale contenente A.
è giusto?
Il ragionamento l'hai afferrato ma devi limare questo: [tex]$I$[/tex] possiede le somme finite degli elementi di [tex]$A$[/tex]; il quale non è detto che sia un insieme finito, ed ai prodotti di elementi di [tex]$R$[/tex] per elementi in [tex]$I$[/tex], quindi sì alle somme (finite) ma ragiona meglio sui prodotti di un [tex]$r\in R$[/tex] per un [tex]$a\in I$[/tex] sicché ottieni quanto postato.
Perfetto..grazie mille!! Scusa se ti ho fatto impazzire..
Prego, di nulla! 
E chi ha detto che sono impazzito.
E chi ha detto che sono impazzito.
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