Anelli e Ideali

[alvinlee881]

Buongiorno a tutti, ho questo esercizio, di cui non possiedo la soluzione,e volevo vedere cosa proponeva il forum, per confrontare con la mia.
Siano $A$ e$B$ anelli commutativi con unita', $f:A->B$ un omomorfismo surgettivo (di anelli). Dire se sono vere o false le seguenti affermazioni
1)$M$ ideale massimale di $A$ $=>$ $f(M)$ ideale massimale di $B$
2)$N$ ideale massimale di $B$ $=>$ $f^(-1)(N)$ ideale massimale di $A$
3)Tutti gli ideali massimali $N$ di $B$ sono della forma $f(M)$ con $M$ opportuno ideale massimale di $A$.
4)Tutti gli ideali massimali $M$ di $A$ sono della forma $M=f^(-1)(N)$, con $N$ opportuno ideale massimale di $B$.
NOTA: Un ideale $I$ di un anello $A$ si dice massimale se e proprio (ovvero diverso da ${0}$ e da $A$) e se l unico ideale che lo contiene propriamente e $A$ stesso.

[Martino]

In pratica stai chiedendo se è vero che gli ideali massimali di $A//I$ sono gli ideali massimali di $A$ contenenti $I$. La risposta è sì, la puoi dedurre dal teorema di corrispondenza degli ideali.

[Lorenzo Pantieri]

"Martino":In pratica stai chiedendo se è vero che gli ideali massimali di $A//I$ sono gli ideali massimali di $A$ contenenti $I$. La risposta è sì, la puoi dedurre dal teorema di corrispondenza degli ideali.

L'ho sempre trovato un gran bel teorema, semplice e "molto astratto".

Cioa,
L.