Anelli e Campi - Legge di annullamento del prodotto
Salve a tutti. Scrivo questo topic per delle perplessità riguardanti una spiegazione del mio professore.
Spiegando gli Anelli ci ha detto che in un anello la legge dell'annullamento del prodotto può anche non valere cioè:
\(\displaystyle a*b=0 \) anche se a diverso da 0 e b diverso da 0.
La dimostrazione l'ha fatta con l'anello \(\displaystyle Z^2 \) poichè \(\displaystyle (a,0)*(b,0)=(0,0) \) e fin qui ci siamo.
Poi introducendo i campi ci dice che un campo è formato da un gruppo abeliano \(\displaystyle (K,+) \) e un gruppo abeliano \(\displaystyle (K^*,*) \) con \(\displaystyle K^*=K-{0}\)
E ci dice: Per rendere \(\displaystyle (K,+) \) e \(\displaystyle (K^*,*) \) un anello (cioè \(\displaystyle (K,+,*) \) devo far valere la distributiva nella moltiplicazione e nell'addizione.
Poi subito dopo ci dice \(\displaystyle (K,+,*) \) per essere definito campo, al suo interno deve per forza valere la legge dell'annullamento del prodotto poichè se prendiamo due oggetti \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) che appartengono a \(\displaystyle K^* \) tale che \(\displaystyle a*b \) appartiene a \(\displaystyle K^* \), visto che \(\displaystyle K^* \) è tutto K tranne 0 se ho \(\displaystyle a*b=0 \) allora sicuramente o \(\displaystyle a=0 \) o \(\displaystyle b=0 \).
Qui nasce proprio la mia perplessità. Se io ho due oggetti di \(\displaystyle K^* \) il loro prodotto come fa a venire 0 nè tantomeno i 2 oggetti possono essere 0 poichè questo insieme è tutto K tranne 0!
Io ho pensato che forse si sarà confuso e ho pensato che se \(\displaystyle a*b=0 \) allora per distribuitiva \(\displaystyle a*b=a*(0+0)=a*0+a*0 \) quindi avrò \(\displaystyle a*0=a*0+a*0 \) quindi uno dei due sarà sicuramente l'oggetto neutro della somma quindi \(\displaystyle a*0=0 \) ma a dire la verità comunque ho dei dubbi perchè comunque la moltiplicazione in un campo è definita per \(\displaystyle (K^*,*) \). Si sarà confuso lui e quindi mi sta facendo scervellare e dire tante cavolate o c'è qualcosa che non riesco a cogliere?
Spiegando gli Anelli ci ha detto che in un anello la legge dell'annullamento del prodotto può anche non valere cioè:
\(\displaystyle a*b=0 \) anche se a diverso da 0 e b diverso da 0.
La dimostrazione l'ha fatta con l'anello \(\displaystyle Z^2 \) poichè \(\displaystyle (a,0)*(b,0)=(0,0) \) e fin qui ci siamo.
Poi introducendo i campi ci dice che un campo è formato da un gruppo abeliano \(\displaystyle (K,+) \) e un gruppo abeliano \(\displaystyle (K^*,*) \) con \(\displaystyle K^*=K-{0}\)
E ci dice: Per rendere \(\displaystyle (K,+) \) e \(\displaystyle (K^*,*) \) un anello (cioè \(\displaystyle (K,+,*) \) devo far valere la distributiva nella moltiplicazione e nell'addizione.
Poi subito dopo ci dice \(\displaystyle (K,+,*) \) per essere definito campo, al suo interno deve per forza valere la legge dell'annullamento del prodotto poichè se prendiamo due oggetti \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) che appartengono a \(\displaystyle K^* \) tale che \(\displaystyle a*b \) appartiene a \(\displaystyle K^* \), visto che \(\displaystyle K^* \) è tutto K tranne 0 se ho \(\displaystyle a*b=0 \) allora sicuramente o \(\displaystyle a=0 \) o \(\displaystyle b=0 \).
Qui nasce proprio la mia perplessità. Se io ho due oggetti di \(\displaystyle K^* \) il loro prodotto come fa a venire 0 nè tantomeno i 2 oggetti possono essere 0 poichè questo insieme è tutto K tranne 0!
Io ho pensato che forse si sarà confuso e ho pensato che se \(\displaystyle a*b=0 \) allora per distribuitiva \(\displaystyle a*b=a*(0+0)=a*0+a*0 \) quindi avrò \(\displaystyle a*0=a*0+a*0 \) quindi uno dei due sarà sicuramente l'oggetto neutro della somma quindi \(\displaystyle a*0=0 \) ma a dire la verità comunque ho dei dubbi perchè comunque la moltiplicazione in un campo è definita per \(\displaystyle (K^*,*) \). Si sarà confuso lui e quindi mi sta facendo scervellare e dire tante cavolate o c'è qualcosa che non riesco a cogliere?
Risposte
Penso che sia una domanda da rivolgere al piano di sotto, nel forum di Algebra 
Poi subito dopo ci dice $(K,+,∗)$ per essere definito campo, al suo interno deve per forza valere la legge dell'annullamento del prodotto poichè se prendiamo due oggetti a e b che appartengono a K∗ tale che a∗b appartiene a K∗, visto che K∗ è tutto K tranne 0 se ho a∗b=0 allora sicuramente o a=0 o b=0.
il punto è questo:
Poi subito dopo ... se prendiamo due oggetti a e b che appartengono all' anello $(K,+,∗)$ (quindi a questo anello appartiene anche 0) tale che $a∗b$ appartiene all' anello, allora si ha $a=0$ oppure $b=0$.
Per definire la struttura di campo deve essere per forza commutativo il gruppo moltiplicativo, e vale la legge di cancellazione
A volte quando l' anello è sottointeso che è un campo si può anche abbreviare in K
@agenog: Ah, buono a sapersi che [tex]M_n(k)[/tex] non è un anello (il prodotto di matrici non è commutativo, quindi non è un anello stando a quello che dici tu). Poi dici anche che abeliano equivale al fatto che la legge di cancellazione valga a destra e a sinistra. Altra cosa falsissima. La legge di cancellazione vale sempre sia a destra che a sinistra, almeno fintanto che sei in un gruppo.
@MentEntropica: se [tex](K^*,*)[/tex] è un gruppo allora hai a gratis la legge di annullamento del prodotto per [tex](K,+,*)[/tex]. Infatti, se [tex]a*b=0[/tex] e [tex]a\ne 0[/tex] allora [tex]b = a^{-1}*a*b = 0[/tex]. La tua perplessità non è una perplessità, è semplicemente la dimostrazione della contronominale: [tex](K,+,*)[/tex] ha la legge di annullamento del prodotto se e solo se [tex]a,b \ne 0[/tex] implica [tex]a*b \ne 0[/tex].
@MentEntropica: se [tex](K^*,*)[/tex] è un gruppo allora hai a gratis la legge di annullamento del prodotto per [tex](K,+,*)[/tex]. Infatti, se [tex]a*b=0[/tex] e [tex]a\ne 0[/tex] allora [tex]b = a^{-1}*a*b = 0[/tex]. La tua perplessità non è una perplessità, è semplicemente la dimostrazione della contronominale: [tex](K,+,*)[/tex] ha la legge di annullamento del prodotto se e solo se [tex]a,b \ne 0[/tex] implica [tex]a*b \ne 0[/tex].
Io dicevo che per avere un campo, quel gruppo deve essere abeliano.
L' anello può ovviamente essere non abeliano. Si e nei gruppi la legge di cancellazione vale sempre.
L' anello può ovviamente essere non abeliano. Si e nei gruppi la legge di cancellazione vale sempre.
Grazie Maurer, ero arrivato anche io alla stessa conclusione. Grazie mille per la risposta!
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