Anelli e anelli di insiemi

[DavideGenova1]

Ciao, amici! La definizione di anello di insiemi come famiglia di questi chiusa rispetto alle operazioni di intersezione e somma simmetrica -e quindi anche di somma e sottrazione- ha qualche relazione con la definizione algebrica di anello?
Grazie a tutti!!!

[Epimenide93]

Eh già, a differenza delle varie "algebre" di insiemi, che non sono dotati della struttura che in algebra (ramo della matematica) viene definita algebra[nota]L'attaccamento dei matematici alla storia ha reso queste cose tremendamente ambigue. È, in base alla mia (scarsa) esperienza, raro trovare un riferimento a questa struttura col nome "giusto" di anello di insiemi, di solito la si indica col nome "solito" di algebra di Boole/booleana/di insiemi mettendo l'accento sulle altre due operazioni che hai indicato incidentalmente.[/nota]. Ora però prova a capire chi è la somma e chi il prodotto, chi è lo zero e chi l'unità

[DavideGenova1]

Grazie! Mi sembra che si possa definire come addizione la differenza simmetrica e moltiplicazione l'intersezione, con \(\emptyset=0\), la famiglia di tutti gli insiemi dell'anello è l'unità e \(A=-A\)...

[Epimenide93]

Esatto le verifiche sono un esercizio per il lettore

[DavideGenova1]

In effetti, a parte l'associatività di \(\triangle\) e la distributività di \(\cap\) rispetto a \(\triangle\), che mi sono andato a cercare su Proofwiki quando ho trovato per la prima volta definita la differenza simmetrica sul Kolmogorov-Fomin, le altre proprietà sono immediate. Preciso che l'unità dell'anello si può definire se e solo se l'unione di tutti gli insiemi della famiglia è compresa nella famiglia.
Grazie di cuore ancora!

[FE7]

In generale, data una qualunque algebra di Boole $ ( A, ^^ , vv , ' , 0, 1 ) $ se definisci una somma come

$ x+y= (x^^y') vv (y ^^ x')$

e un prodotto come $ xy= x^^y $ , hai che la struttura $ ( A, + , \cdot ) $ è un anello booleano.[nota]Un anello commutativo unitario con $0!=1$ è booleano se per ogni $x in A $ , $ x \cdot x = x $.[/nota]
Viceversa, dato $ (A, +, \cdot )$ un anello booleano , ponendo $x^^y= x \cdot y$ , $xvvy= x+y+(xy) $ e $x'=1+x$ hai che $ ( A, ^^ , vv , ' , 0, 1 ) $ è un'algebra di Boole.

[DavideGenova1]

Grazie anche a te! Molto interessante...