Anelli, Domini e Campi
Buongiorno a tutti 
Mi sto preparando per l'esame di Algebra 2 e svolgendo vecchi esercizi mi sono imbattuto in uno che mi sta dando non poco filo da torcere; vi scrivo il testo
Dato $ A=B+XQQ[x] $, dove $B$ è un anello, devo stabilire quando $A$ è un anello, un dominio o un campo al variare di
$B=ZZ, ZZ_8, ZZ_2, QQ$.
Ora a intuito io ho ragionato così: so che $XQQ[X]$ è l'insieme dei polinomi di grado $n+1$ a coefficienti in $QQ$, nei quali però manca il termine noto, quest'ultimo dipende dalla natura di $B$, nei casi in cui $B=ZZ_2 , B=QQ$ che sono campi, allora anche tutto $A$ è un campo, nel caso in cui $B=ZZ$ allora $A$ è un dominio e nel caso in cui $B=ZZ_6$, $A$ è semplicemente un anello, senza nessun altra proprietà; però, nel caso fosse giusto, come potrei formalizzare il tutto? Come potrei riuscire a dimostrare che la mia idea ha senso? Spero in qualche chiarimento!
Grazie in anticipo per l'aiuto!!
Luca
Mi sto preparando per l'esame di Algebra 2 e svolgendo vecchi esercizi mi sono imbattuto in uno che mi sta dando non poco filo da torcere; vi scrivo il testo
Dato $ A=B+XQQ[x] $, dove $B$ è un anello, devo stabilire quando $A$ è un anello, un dominio o un campo al variare di
$B=ZZ, ZZ_8, ZZ_2, QQ$.
Ora a intuito io ho ragionato così: so che $XQQ[X]$ è l'insieme dei polinomi di grado $n+1$ a coefficienti in $QQ$, nei quali però manca il termine noto, quest'ultimo dipende dalla natura di $B$, nei casi in cui $B=ZZ_2 , B=QQ$ che sono campi, allora anche tutto $A$ è un campo, nel caso in cui $B=ZZ$ allora $A$ è un dominio e nel caso in cui $B=ZZ_6$, $A$ è semplicemente un anello, senza nessun altra proprietà; però, nel caso fosse giusto, come potrei formalizzare il tutto? Come potrei riuscire a dimostrare che la mia idea ha senso? Spero in qualche chiarimento!
Grazie in anticipo per l'aiuto!!
Luca
Risposte
L'esercizio e' un po' problematico, perche' dovrebbe anche dare
la definizione dell'addizione e della moltiplicazione di $A$.
Se $B=ZZ_2$ oppure $ZZ_8$ non vedo bene come si potrebbe fare questo.
Invece per $B=QQ$, c'e' una definizione ovvia e in quel caso l'anello $A$
e' l'anello dei polinomi $QQ[X]$. Per $B=ZZ$ si trova il sottoanello
dei polinomi in $QQ[X]$ che hanno termine noto in $ZZ$.
la definizione dell'addizione e della moltiplicazione di $A$.
Se $B=ZZ_2$ oppure $ZZ_8$ non vedo bene come si potrebbe fare questo.
Invece per $B=QQ$, c'e' una definizione ovvia e in quel caso l'anello $A$
e' l'anello dei polinomi $QQ[X]$. Per $B=ZZ$ si trova il sottoanello
dei polinomi in $QQ[X]$ che hanno termine noto in $ZZ$.
In realtà il testo dell'esercizio è quello e non dice altro; io le operazioni le ho semplicemente pensate termine a termine, senza pormi effettivamente troppi problemi 
Cercherò di inventarmi qualcosa per risolverlo; grazie comunque per l'aiuto!!
Cercherò di inventarmi qualcosa per risolverlo; grazie comunque per l'aiuto!!
Può essere che per \(\displaystyle B\in\{\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_8\}\) tu debba affermare che \(\displaystyle A\) non è un anello perché...
@j18eos Avrai ragione.
Per ogni anello $B$ posso definire una struttura di anello su $A=B+X QQ[X]$ nel
modo seguente:
somma: $(a,f(X))+(b,g(X))=(a+b, f(X)+g(X))$ e
prodotto $(a,f(X))(b,g(X))=(ab, f(X)g(X)//X)$.
Cosi' otteniamo l'anello prodotto $B\times QQ[X]$.
Ma ho la sensazione che l’autore dell’esercizio non ha in mente questo, ma 'vuole’
in qualche modo che $B$ consiste nei polinomi costanti. Ma allora
non saprei, se $B$ non e' sottoanello di $QQ$, come definire un prodotto.
Per esempio, se $B= ZZ_2$, cosa sarebbe $(1\mod 2)$ $\times$ $\frac{1}{2}X$?
Per ogni anello $B$ posso definire una struttura di anello su $A=B+X QQ[X]$ nel
modo seguente:
somma: $(a,f(X))+(b,g(X))=(a+b, f(X)+g(X))$ e
prodotto $(a,f(X))(b,g(X))=(ab, f(X)g(X)//X)$.
Cosi' otteniamo l'anello prodotto $B\times QQ[X]$.
Ma ho la sensazione che l’autore dell’esercizio non ha in mente questo, ma 'vuole’
in qualche modo che $B$ consiste nei polinomi costanti. Ma allora
non saprei, se $B$ non e' sottoanello di $QQ$, come definire un prodotto.
Per esempio, se $B= ZZ_2$, cosa sarebbe $(1\mod 2)$ $\times$ $\frac{1}{2}X$?
Effettivamente continuo a non trovare un senso all'esercizio; non riuscendo a definire un prodotto non riesco neanche a verificare la definizione di anello (che è l'unica cosa che mi sia venuta in mente) in quanto non so come porre, ad esempio, neanche l'associatività del prodotto, soprattutto nel caso di $ZZ_2$
Il mio suggerimento è che non lo puoi fare, e ti basta argomentare le tue ragioni.
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