Anelli, divisori dello zero e elementi invertibili

[Max861126]

Dato l'anello $(ZZ_18, +, *)$ devo determinare gli elementi invertibili e i divisori dello 0. Mi è sufficiente calcolare i divisori del 18 quindi 1, 2, 3, 6, 9 e dire che questi sono invertibili mentre tutti gli altri sono divisori dello zero? oppure sbaglio io a ragionare in questo modo?

[Max861126]

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[gugo82]

Per assurdo, supponiamo che [tex]$1-X$[/tex] sia invertibile; in tal caso esiste un polinomio non nullo [tex]$p(X)$[/tex] (quindi di grado [tex]$n\geq 0$[/tex]) tale che [tex]$p(X)\cdot (1-X) =1$[/tex], ma ciò è assurdo perchè per la regola di addizione dei gradi si dovrebbe avere [tex]$1+n=\text{grado} (p(X)\cdot (1-X))=\text{grado}(1)=0$[/tex] e ciò è evidentemente impossibile.

Allo stesso modo si dimostra che [tex]$1-X$[/tex] non è divisore di zero.