Anelli, divisori dello zero e elementi invertibili
Dato l'anello $(ZZ_18, +, *)$ devo determinare gli elementi invertibili e i divisori dello 0. Mi è sufficiente calcolare i divisori del 18 quindi 1, 2, 3, 6, 9 e dire che questi sono invertibili mentre tutti gli altri sono divisori dello zero? oppure sbaglio io a ragionare in questo modo?
Risposte
stai facendo confusione.
cosa sono i divisori dello zero?
cosa sono gli elementi invertibili?
parti dalle definizioni, poi pensaci.
cosa sono i divisori dello zero?
cosa sono gli elementi invertibili?
parti dalle definizioni, poi pensaci.
Più che altro, ricordi come sono caratterizzati gli elementi invertibili in [tex]$\mathbb{Z}_m$[/tex]?
divisori dello 0 io intendo che $ab = 0$ quindi $9*2 = 18$ che in $ZZ_18$ = 0
quindi 9 e 2 sono divisori dello 0, stessa cosa dicasi per gli altri numeri che ho risportato sopra... non capisco dove sbaglio.....
ad esclusione, se nn sono divisori dello 0 sono invertibili...o sto sbagliando pure qui?
quindi 9 e 2 sono divisori dello 0, stessa cosa dicasi per gli altri numeri che ho risportato sopra... non capisco dove sbaglio.....
ad esclusione, se nn sono divisori dello 0 sono invertibili...o sto sbagliando pure qui?
"Max861126":
Mi è sufficiente calcolare i divisori del 18 quindi 1, 2, 3, 6, 9 e dire che questi sono invertibili mentre tutti gli altri sono divisori dello zero?
mi turbava questa tua frase..
ma forse ti sei solo confuso, diciamo che hai trovato i divisori dello zero, bene.
adesso però devi motivare cià che affermi. visto che lo dici, sapresti dimostrare che in un anello un elemento è o invertibile o divisore dello zero?
ahahahaha, ho invertito a scrivere.
No, non sò dimostrarlo, negli appunti ho solo scritta sta cosa ma non sò perchè ^__^
No, non sò dimostrarlo, negli appunti ho solo scritta sta cosa ma non sò perchè ^__^
qundi non puoi utilizzare un fatto che ritieni vero per "credenza popolare", ti pare?
o lo dimostri, o trovi un'altra strada, che in effetti non è difficile, è come dice gugo82.
tra l'altro, l'enunciato:
"in un anello con unità ogni elemento o è invertibile o è zero divisore" è falso
o lo dimostri, o trovi un'altra strada, che in effetti non è difficile, è come dice gugo82.
tra l'altro, l'enunciato:
"in un anello con unità ogni elemento o è invertibile o è zero divisore" è falso
non ho capito quello che diceva gugo82 e se la dimosrtazione non è complessa e ti va di metterla te ne sarei molto grato ^__^
l'altra strada sarebbe trovare la tabella moltiplicativa e prendere gli elementi che presentano uno 0? se è così la trovo molto lunga come cosa:)
l'altra strada sarebbe trovare la tabella moltiplicativa e prendere gli elementi che presentano uno 0? se è così la trovo molto lunga come cosa:)
beh la forza bruta funziona sempre, però non è la via dei giusti 
mai sentito parlare di equazioni diofantee, criterio di Bezout?
mai sentito parlare di equazioni diofantee, criterio di Bezout?
"blackbishop13":
"in un anello con unità ogni elemento o è invertibile o è zero divisore" è falso
Ad esempio, nell'anello dei polinomi [tex]$\mathbb{R}[X]$[/tex] l'elemento [tex]$1-X$[/tex] non è né invertibile né divisore di zero (per la regola di addizione dei gradi).
@gugo82, non ti seguo proprio....forse parli di cose che non ci sono nel programma che sto studiando ^__^
@black: sì, sono le equazioni a una o più incongnite del tipo $ax + by = n$ e le soluzioni sono tutte del tipo $(x_0 + h(b/d), y_0 + h(a/d))$ dove d è MCD(a, b)
questa è la teoria
@black: sì, sono le equazioni a una o più incongnite del tipo $ax + by = n$ e le soluzioni sono tutte del tipo $(x_0 + h(b/d), y_0 + h(a/d))$ dove d è MCD(a, b)
questa è la teoria
gugo82 forse stai andando un po' oltre..
un esempio che rende falsa tale affermazione è semplicemente $ZZ$ con la sua solita struttura, senza sbatterci troppo.
hai capito perchè Max?
mi preoccupa sentir dire: questa è la teoria.
lascia trasparire una certa diffidenza, e il fatto che non hai davvero capito l'argomento, perchè se avessi compreso la "teoria" saresti a posto.
non ti serve spiattellare la pappardella sulle equazioni diofantee, ma capire come potrebbero aiutarti adesso.
in particolare come ricollegarle al problema di trovare gli inversi in $ZZ_n$
un esempio che rende falsa tale affermazione è semplicemente $ZZ$ con la sua solita struttura, senza sbatterci troppo.
hai capito perchè Max?
mi preoccupa sentir dire: questa è la teoria.
lascia trasparire una certa diffidenza, e il fatto che non hai davvero capito l'argomento, perchè se avessi compreso la "teoria" saresti a posto.
non ti serve spiattellare la pappardella sulle equazioni diofantee, ma capire come potrebbero aiutarti adesso.
in particolare come ricollegarle al problema di trovare gli inversi in $ZZ_n$
ho capito perchè nn vale in Z perchè, detto banalmente, preso $x$ non esiste $1/x$ in $ZZ$
premettendo che ciò che vorrei capire ora è l'algoritmo di risoluzione, per svolgere questi esercizi mi sono sempre creato la mia bella tabella moltiplicativa e mi sono preso gli elementi che avevano l'1 perchè, dalla teoria, ho capito questo: $a*b -= 1(mod n)$; $ab = 1+nh$ ma, poichè n in modulo n = 0, $ab=1$. Ora, un metodo per evitare di scrivermi tutta la tabella moltiplicativa, come in questo caso in cui ho $ZZ18$ che impiegherei 5 minuti, cercavo un metodo di risoluzione un po' più rapido, diversamente me la saprei cavare in qualche modo ^__^
premettendo che ciò che vorrei capire ora è l'algoritmo di risoluzione, per svolgere questi esercizi mi sono sempre creato la mia bella tabella moltiplicativa e mi sono preso gli elementi che avevano l'1 perchè, dalla teoria, ho capito questo: $a*b -= 1(mod n)$; $ab = 1+nh$ ma, poichè n in modulo n = 0, $ab=1$. Ora, un metodo per evitare di scrivermi tutta la tabella moltiplicativa, come in questo caso in cui ho $ZZ18$ che impiegherei 5 minuti, cercavo un metodo di risoluzione un po' più rapido, diversamente me la saprei cavare in qualche modo ^__^
[OT]
Vabbè, dai, polinomi e la regola di addizione dei gradi sono familiari a tutti.
Piuttosto, il problema non è immediato... Ma quello era piazzato lì come divertissement per quelli più esperti.
[/OT]
Vabbè, dai, polinomi e la regola di addizione dei gradi sono familiari a tutti.
Piuttosto, il problema non è immediato... Ma quello era piazzato lì come divertissement per quelli più esperti.
[/OT]
io nn studio matematica, nn erano nel programma quelle cose ^__^
"Max861126":
io nn studio matematica, nn erano nel programma quelle cose ^__^
Forse erano nel programma del secondo liceo e te li sei persi?
praticamente ho rivisto gli appunti e ho trovato una cosa buttata in un angolo che non avevo mai visto....ho avuto l'illuminazione!
allora, come primo requisito il MCD(a, n) = 1, quindi 4 non ammette non inverso in $ZZ_18$ corretto?
punto 2, diceva di procedere in questo modo e l'ho fatto ma ditemi se è corretto
$18 = 5*3 + 3$-------->$3 = 18 + 5(-3)$
$5 = 3*1 + 2$--------->$2 = 5 + 3(-1)$
$3=2*1 +1 $---------->$1 = 1 + 2(-1)$
$2 = 1*2 +0$
ho riscritto le equazioni di fianco mettendo da un lato tutti i resti e, sostituendo i vari resti partendo dall'ultimo giungo all'equazione che $1 = 18(2) + 5(-7)$ quindi 5 ammette inverso che è -7, quindi 11.
Praticamente è il metodo di risoluzione delle congruenze lineari
allora, come primo requisito il MCD(a, n) = 1, quindi 4 non ammette non inverso in $ZZ_18$ corretto?
punto 2, diceva di procedere in questo modo e l'ho fatto ma ditemi se è corretto
$18 = 5*3 + 3$-------->$3 = 18 + 5(-3)$
$5 = 3*1 + 2$--------->$2 = 5 + 3(-1)$
$3=2*1 +1 $---------->$1 = 1 + 2(-1)$
$2 = 1*2 +0$
ho riscritto le equazioni di fianco mettendo da un lato tutti i resti e, sostituendo i vari resti partendo dall'ultimo giungo all'equazione che $1 = 18(2) + 5(-7)$ quindi 5 ammette inverso che è -7, quindi 11.
Praticamente è il metodo di risoluzione delle congruenze lineari
"gugo82":
[quote="Max861126"]io nn studio matematica, nn erano nel programma quelle cose ^__^
Forse erano nel programma del secondo liceo e te li sei persi?
[/quote]mo, son curioso...che è sta roba dei gradi? se erano in secondo liceo li ho sicuramente e definitivamente rimossi!
"Max861126":
[quote="gugo82"][quote="Max861126"]io nn studio matematica, nn erano nel programma quelle cose ^__^
Forse erano nel programma del secondo liceo e te li sei persi?
[/quote]mo, son curioso...che è sta roba dei gradi? se erano in secondo liceo li ho sicuramente e definitivamente rimossi![/quote]
Regola di addizione dei gradi (per polinomi reali): se [tex]$p(X),\ q(X)\in \mathbb{R}[X]$[/tex] hanno rispettivamente gradi [tex]$n,\ m$[/tex]* allora il prodotto [tex]$p(X)\cdot q(X)$[/tex] ha grado [tex]$n+m$[/tex].
__________
* Si sottointende la solita convenzione che attribuisce grado [tex]$-\infty$[/tex] al polinomio nullo (anche se questa forse non è adottata al liceo).
ah, così si chiama sta proprietà? ahahahah ingoravo il suo nome
"Max861126":
ah, così si chiama sta proprietà? ahahahah ingoravo il suo nome
E come l'applicheresti per dimostrare che [tex]$1-X$[/tex] non è né invertibile né divisore di zero in [tex]$\mathbb{R}[X]$[/tex]?
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