Anelli di Polinomi, aiuto per esercizi.
Sono alla disperata ricerca del metodo risolutivo di questi 4 tipi di esercizi, mi sono letto la teoria ma niente, proprio non riesco a uscirne fuori.
Un Grazie anticipato a chi risponde. Colgo l'occasione per salutare tutto il forum, visto che sono nuovo.
[tex](1)[/tex] Determinare la caratteristica di $Q(sqrt(2)) , Z_(31) e Z_(10)[X]$
[tex](2)[/tex] Sia $H(x)= [3]X^4+[2]X^3+[4]X+[2] E Z_(5)[X]$. Elencare i polinomi di Z_(5)[X] associati ad H(X).
[tex](3)[/tex] Si determini il polinomio monico associato ad:
$g(X)= -6/11X^8 - 34X + 1/4$
[tex](4)[/tex] Costruire un polinomio $f(X)$ di $Z_(3)$ tale che $f(0)=2 , f(1)=1 , f(2)=0$
Un Grazie anticipato a chi risponde. Colgo l'occasione per salutare tutto il forum, visto che sono nuovo.
[tex](1)[/tex] Determinare la caratteristica di $Q(sqrt(2)) , Z_(31) e Z_(10)[X]$
[tex](2)[/tex] Sia $H(x)= [3]X^4+[2]X^3+[4]X+[2] E Z_(5)[X]$. Elencare i polinomi di Z_(5)[X] associati ad H(X).
[tex](3)[/tex] Si determini il polinomio monico associato ad:
$g(X)= -6/11X^8 - 34X + 1/4$
[tex](4)[/tex] Costruire un polinomio $f(X)$ di $Z_(3)$ tale che $f(0)=2 , f(1)=1 , f(2)=0$
Risposte
Prima di aiutarli a risolverli, ti posto qualche hint che magari ti aiutano:
$(1)$ Ricorda bene cosa è effettivamente la definizione caratteristica di anelli!
$(2)$ Ricorda bene cosa è effettivamente la definizione di polinomi associati in un anello!
$(3)$ Come al punto $(2)$
$(4)$ Qui non è diverso dal trovare il polinomio in $Q[x]$ che soddisfa le condizioni.
Come vedi si tratta di applicare delle definizioni, prova, poi se ci sono dubbi ti aiutiamo a risolverli!
$(1)$ Ricorda bene cosa è effettivamente la definizione caratteristica di anelli!
$(2)$ Ricorda bene cosa è effettivamente la definizione di polinomi associati in un anello!
$(3)$ Come al punto $(2)$
$(4)$ Qui non è diverso dal trovare il polinomio in $Q[x]$ che soddisfa le condizioni.
Come vedi si tratta di applicare delle definizioni, prova, poi se ci sono dubbi ti aiutiamo a risolverli!
Perdona la maleducazione, ma benvenuto anche nel forum! 
Di nulla, ti ringrazio per volermi far arrivare da solo alla soluzione e quindi alle dimostrazioni degli esercizi. Ma ho già guardato, letto e studiato le definizioni. Il mio problema ( solo ed esclusivamente per il corso di algebra) è proprio l'applicazione delle definizioni e teoremi.
Per il primo esercizio trovo sul mio libro questa dicitura.
Se la Cardinalità di $m$ di $B$ è finita, diciamo che $A$ ha caratteristica $m$, altrimenti si dice che $A$ ha caratteristica 0.
Si osservi che $Char (Z_(m)) = m$ e $Char (Q) = Char (C) = Char (H) = 0$
Quindi deduco che la caratteristica di $Q(sqrt(2)) = 0$ , $Z_(31)=31$ e cosi via.
Polinomio Associato : Se $f$ appartiene $F[x]-{0}$, si dirà polinomio associato ad $f$ ogni polinomio della forma $a*f (con a F-{0})$. I polinomi associati ad $f$ sono divisori di $f$, essendo $f =a^(-1)(a*f)$; si noti inoltre che polinomi associati hanno lo stesso grado.
Per il terzo esercizio si ha: Il polinomio f(x) si dice $monico$ se $a_(n)=1$
Purtroppo non riesco proprio a trovare un metodo. Io e Algebra non ci siamo mai amati. Spero in te Lordk.
Per il primo esercizio trovo sul mio libro questa dicitura.
Se la Cardinalità di $m$ di $B$ è finita, diciamo che $A$ ha caratteristica $m$, altrimenti si dice che $A$ ha caratteristica 0.
Si osservi che $Char (Z_(m)) = m$ e $Char (Q) = Char (C) = Char (H) = 0$
Quindi deduco che la caratteristica di $Q(sqrt(2)) = 0$ , $Z_(31)=31$ e cosi via.
Polinomio Associato : Se $f$ appartiene $F[x]-{0}$, si dirà polinomio associato ad $f$ ogni polinomio della forma $a*f (con a F-{0})$. I polinomi associati ad $f$ sono divisori di $f$, essendo $f =a^(-1)(a*f)$; si noti inoltre che polinomi associati hanno lo stesso grado.
Per il terzo esercizio si ha: Il polinomio f(x) si dice $monico$ se $a_(n)=1$
Purtroppo non riesco proprio a trovare un metodo. Io e Algebra non ci siamo mai amati. Spero in te Lordk.
"Piccolo Fermat":
Se la Cardinalità di $m$ di $B$ è finita, diciamo che $A$ ha caratteristica $m$, altrimenti si dice che $A$ ha caratteristica 0.
Si osservi che $Char (Z_(m)) = m$ e $Char (Q) = Char (C) = Char (H) = 0$
Ciao,
scusa, ma io francamente non capisco che cosa dici. Da dove hai preso questa frase?
Mettiamo un pochetto insieme alcuen idee: la caratteristica di un anello $R$ è un intero $n in NN,n!=0$ , tale che $nz=0_R$ nel senso della somma iterata $n$ volte. Se non esiste detto intero allora viene detto che $R$ ha caratteristica zero!
$char(Q(sqrt(2)))=0$ per ragioni abbastanza ovvie, ma non troppo.
$char(ZZ_31)=31$ ovviamente.
$char(Z_10[x])=10$ ovviamente.
Associato è il polinomio che differisce dal polinomio noto per un invertibile. In $ZZ_5[x]$ gli invertibili sono $[1],[2],[3],[4]$ e quindi per trovare gli altri associati basta moltiplicare per quei quattro valori!
Da questo arrivi al fatto che nell'esercizio $(3)$ l'associato monico di $g(x)$ è:
$h(x)=-11/6*g(x)=x^8+34*11/6x-11/24$
Ultimo ma non per questo ultimo, il polinomio in $ZZ_3$. una idea è la seguente: sia $f(x)=ax^2+bx+c$
${(f(0)=2 Rightarrow c=0),(f(1)=1 Rightarrow a+b=1),(f(2)=0 Rightarrow a+2b=0):}$
ed ottieni i tre coefficienti che ti servono, ricordati solo che i conti sono in $ZZ_3$. Mi raccomando termina i conti che qui ho abbozzato!!
Enjoy!
$char(Q(sqrt(2)))=0$ per ragioni abbastanza ovvie, ma non troppo.
$char(ZZ_31)=31$ ovviamente.
$char(Z_10[x])=10$ ovviamente.
Associato è il polinomio che differisce dal polinomio noto per un invertibile. In $ZZ_5[x]$ gli invertibili sono $[1],[2],[3],[4]$ e quindi per trovare gli altri associati basta moltiplicare per quei quattro valori!
Da questo arrivi al fatto che nell'esercizio $(3)$ l'associato monico di $g(x)$ è:
$h(x)=-11/6*g(x)=x^8+34*11/6x-11/24$
Ultimo ma non per questo ultimo, il polinomio in $ZZ_3$. una idea è la seguente: sia $f(x)=ax^2+bx+c$
${(f(0)=2 Rightarrow c=0),(f(1)=1 Rightarrow a+b=1),(f(2)=0 Rightarrow a+2b=0):}$
ed ottieni i tre coefficienti che ti servono, ricordati solo che i conti sono in $ZZ_3$. Mi raccomando termina i conti che qui ho abbozzato!!
Enjoy!
Allora ti ringrazio perchè mi hai aperto piccoli mondi su questo argomento. Purtroppo il mio libro non è molto chiaro su questo tipo di teoria. In base a ciò cha hai scritto..
Sul polinomio da costruire però ho notato che
essendo $ax^2+bx+c$ ( intanto mi hai dato una mano per iniziare l'esercizio) il sistema è un pochino diverso perchè:
$\{(f(0)=2 => c=2), (f(1)=1 => a+b+2=1 => a+b=-1),(f(2)=0 => 4a+2b+2=0 => 2a+b+1=0):}$
di qui abbiamo
$C=2$ , $B=-1$ e $A = 0$ $=>$ $F(x)= 2-X$ Che rispetta le condizioni.
Ok per il polinomio associato monico. Mentre per il polinomio associato si ha
$g(x)= [2]*h(x) = 6[X]^4+[4]X^3+[8]X+[6]$
Sul polinomio da costruire però ho notato che
essendo $ax^2+bx+c$ ( intanto mi hai dato una mano per iniziare l'esercizio) il sistema è un pochino diverso perchè:
$\{(f(0)=2 => c=2), (f(1)=1 => a+b+2=1 => a+b=-1),(f(2)=0 => 4a+2b+2=0 => 2a+b+1=0):}$
di qui abbiamo
$C=2$ , $B=-1$ e $A = 0$ $=>$ $F(x)= 2-X$ Che rispetta le condizioni.
Ok per il polinomio associato monico. Mentre per il polinomio associato si ha
$g(x)= [2]*h(x) = 6[X]^4+[4]X^3+[8]X+[6]$
Ok al solito mi perdo qualche errore in giro! Inoltre la mia provocazione era dire che il polinomio era $ax^2+bx+c$ ma ti sei chiesto perchè?
Veramente non me lo sono chiesto. Pensavo a $ax^2+bx+c$ come un polinomio base, da cui partire. Ed è stato utilissimo. 
Preparati che ti darò il tormento
Preparati che ti darò il tormento
Se sei davvero un "Piccolo Fermat" dovresti ricordarti che vale l'importantissimo:
$x^(p-1)\equiv 1 (modp)$ se $p$ è primo
oppure:
$x^(phi(s))\equiv 1 (mods)$ se $s$ non è primo, dove $Phi$ è la funzione di Eulero,
da cui quindi:
$x^3 \equiv x (mod3)$
ed inoltre $x^2\equiv 1 (mod3)$, da cui il fatto che il polinomio corretto da cercare era monico e del tipo $x-a$
Inoltre se osservi la funzione è una permutazione degli elementi di $ZZ_3$ che ovviamente possono essere solo del tipo $x-a$
$x^(p-1)\equiv 1 (modp)$ se $p$ è primo
oppure:
$x^(phi(s))\equiv 1 (mods)$ se $s$ non è primo, dove $Phi$ è la funzione di Eulero,
da cui quindi:
$x^3 \equiv x (mod3)$
ed inoltre $x^2\equiv 1 (mod3)$, da cui il fatto che il polinomio corretto da cercare era monico e del tipo $x-a$
Inoltre se osservi la funzione è una permutazione degli elementi di $ZZ_3$ che ovviamente possono essere solo del tipo $x-a$
Non sono ancora cosi esperto e si vede. Comunque sia Fermat è utilissimo per mezza algebra. Ed è bellissimo scoprire tante cose in un esercizio che è risultato anche banale.
Banale o meno ha avuto l'utilità di farti comprendere qualcosa!
Si, si certo. Ora però ti vorrei sentire per un altro quesito (senza che apro un altro Topic) che è stato oggetto di discussione tra me e un mio collega di università. Vediamo il testo è questo.
Dire quanti sono i polinomi in $Z_5[X]$ della forma $a_0 + a_(1)X+a_(2)X^(2)+a_(3)X^(3)$, cioè quanti elementi ha il sottoinsieme di Z_5[X] formato dal polinomio nullo e dai polinomi di grado $<=3$
La sua soluzione è stata $5X4= 20$ elementi.
mentre ila mia $5^4=625$
chi ha ragione o meglio.. qualcuno ha ragione?
Dire quanti sono i polinomi in $Z_5[X]$ della forma $a_0 + a_(1)X+a_(2)X^(2)+a_(3)X^(3)$, cioè quanti elementi ha il sottoinsieme di Z_5[X] formato dal polinomio nullo e dai polinomi di grado $<=3$
La sua soluzione è stata $5X4= 20$ elementi.
mentre ila mia $5^4=625$
chi ha ragione o meglio.. qualcuno ha ragione?
"Piccolo Fermat":Giusto!
mentre ila mia $5^4=625$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo