Anelli booleani
quest'estate mi sono imbattuto sulla definizione di anello booleano, cioè un'anello dove per ogni $x$ vale $x^2=x$
un'esempio quasiasi può essere una famiglia delle parti di un'insieme, dove la somma e la moltiplicazione sono la differenza simmetrica e l'intersezione
tempo fa, su un'altro forum, ho letto una dimostrazione di questo fatto:
"sia $M$ semigruppo commutativo tale che par ogni $x$ vale $x^2=x$. allora $M$ è isomorfo a una famiglia di insiemi dove l'operazione è l'intersezione insiemistica"
e mi chiedevo,se il risultato si potesse estendere agli anelli di boole: è vero che ogni anello di boole è isomorfo a una famiglia di insiemi con operazioni differenza simmetrica e intersezione?
mi è venuta in mente sta cosa anche perchè un'anello di boole ha delle belle proprietà: è sempre commutativo, e $x+x=0$ per ogni $x$,come con la differenza simmetrica.
qualcuno sa dirmi se la congettura è corretta? o se esiste un controesempio?
EDIT: risolto,la congettura è vera.
un'esempio quasiasi può essere una famiglia delle parti di un'insieme, dove la somma e la moltiplicazione sono la differenza simmetrica e l'intersezione
tempo fa, su un'altro forum, ho letto una dimostrazione di questo fatto:
"sia $M$ semigruppo commutativo tale che par ogni $x$ vale $x^2=x$. allora $M$ è isomorfo a una famiglia di insiemi dove l'operazione è l'intersezione insiemistica"
e mi chiedevo,se il risultato si potesse estendere agli anelli di boole: è vero che ogni anello di boole è isomorfo a una famiglia di insiemi con operazioni differenza simmetrica e intersezione?
mi è venuta in mente sta cosa anche perchè un'anello di boole ha delle belle proprietà: è sempre commutativo, e $x+x=0$ per ogni $x$,come con la differenza simmetrica.
qualcuno sa dirmi se la congettura è corretta? o se esiste un controesempio?
EDIT: risolto,la congettura è vera.
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