Ancora$G$ gruppo di ordine $pqr$ con $p<q<r$ primi distinti.
Sia $G$ un gruppo di ordine $pqr$ con $p
Le relazioni che possono essere valide per Sylow sono le seguenti : $1+kp=1$, $1+kq=1$, $1+kr=1$, $1+kp=qr$, $1+kq=pr$,$1+kr=pq$.
Vediamo adesso un po quelle che possono sussistere contemporaneamente senza violare cardinalità di $G$:
Facilmente si vede che per non violare la cardinalità di $G$ almeno due dei sottogruppi $P,Q,R$ di ordine rispettivamente
$p,q,r$, devono risultare necessariamente unici e quindi normali in $G$.
Avremo allora le seguenti possibilità:
che siano $P$ ed $R$ i due stgp allora $PR$ risulterebbe essere un stgp normale,ed anche unico in $G$, inoltre essendo che
[tex]p \nmid (r-1)[/tex], $PR$ è anche ciclico, essendo che $G$ risulterà prodotto semidiretto tra $Q$ ed $PR$ ed avendosi che $|Aut(PR)|=(p-1)(r-1)$,perchè ciclico, sicuramente [tex]q \nmid(p-1)(q-1)[/tex] in quanto [tex]q \nmid (p-1)[/tex],e,[tex]q \nmid (r-1)[/tex] , l'unico omomorfismo strutturale possibile cha va da $Q->PR$ è quello identico pertanto anche $Q$ deve essere normale e quindi unico in $G$, quindi in definitiva $G$ risulterà prodotto diretto di $PRxxQ$ cioè ciclico!
Analogamente si pùò facilmente ripetere il ragionamento negli altri restanti casi , e si arrva a concludere che in ogni caso un gruppo siffatto è ciclico! Pertanto la tesi è dimostrata. Quindi stando a quanto detto, come esempio un gruppo di ordine $255=3xx5xx17$ sarà a meno di isomorfismi un gruppo ciclico! Nel frattempo forse mi è venuta in mente una soluzione più immediata, ma eventualmente la posto dopo, per non creare confusione.
Spero che quanto affermato non sia del tutto errato, per conferma, resto in attesa di una risposta;Grazie!
Le relazioni che possono essere valide per Sylow sono le seguenti : $1+kp=1$, $1+kq=1$, $1+kr=1$, $1+kp=qr$, $1+kq=pr$,$1+kr=pq$.
Vediamo adesso un po quelle che possono sussistere contemporaneamente senza violare cardinalità di $G$:
Facilmente si vede che per non violare la cardinalità di $G$ almeno due dei sottogruppi $P,Q,R$ di ordine rispettivamente
$p,q,r$, devono risultare necessariamente unici e quindi normali in $G$.
Avremo allora le seguenti possibilità:
che siano $P$ ed $R$ i due stgp allora $PR$ risulterebbe essere un stgp normale,ed anche unico in $G$, inoltre essendo che
[tex]p \nmid (r-1)[/tex], $PR$ è anche ciclico, essendo che $G$ risulterà prodotto semidiretto tra $Q$ ed $PR$ ed avendosi che $|Aut(PR)|=(p-1)(r-1)$,perchè ciclico, sicuramente [tex]q \nmid(p-1)(q-1)[/tex] in quanto [tex]q \nmid (p-1)[/tex],e,[tex]q \nmid (r-1)[/tex] , l'unico omomorfismo strutturale possibile cha va da $Q->PR$ è quello identico pertanto anche $Q$ deve essere normale e quindi unico in $G$, quindi in definitiva $G$ risulterà prodotto diretto di $PRxxQ$ cioè ciclico!
Analogamente si pùò facilmente ripetere il ragionamento negli altri restanti casi , e si arrva a concludere che in ogni caso un gruppo siffatto è ciclico! Pertanto la tesi è dimostrata. Quindi stando a quanto detto, come esempio un gruppo di ordine $255=3xx5xx17$ sarà a meno di isomorfismi un gruppo ciclico! Nel frattempo forse mi è venuta in mente una soluzione più immediata, ma eventualmente la posto dopo, per non creare confusione.
Spero che quanto affermato non sia del tutto errato, per conferma, resto in attesa di una risposta;Grazie!
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Risposte
Resto in attesa di una risposta ;Grazie!
Rimango in attesa di una risposta;Grazie!!
Forse ti piace questo risultato carino. Sia $\phi$ la funzione di Eulero.
Proposizione. Sia $n$ un numero naturale. Allora ogni gruppo di ordine $n$ e' ciclico se e solo se $ mcd(n,\phi(n))=1$.
Nel tuo caso si ha che $n=pqr$ con $p$, $q$, $r$ primi distinti e quindi $\phi(n)=(p-1)(q-1)(r-1)$. Le condizioni su $p$, $q$ e $r$ dicono che $ mcd(n,\phi(n))=1$.
Una dimostrazione della direzione difficile della proposizione si trova qua
http://ysharifi.wordpress.com/2010/12/1 ... re-cyclic/
Proposizione. Sia $n$ un numero naturale. Allora ogni gruppo di ordine $n$ e' ciclico se e solo se $ mcd(n,\phi(n))=1$.
Nel tuo caso si ha che $n=pqr$ con $p$, $q$, $r$ primi distinti e quindi $\phi(n)=(p-1)(q-1)(r-1)$. Le condizioni su $p$, $q$ e $r$ dicono che $ mcd(n,\phi(n))=1$.
Una dimostrazione della direzione difficile della proposizione si trova qua
http://ysharifi.wordpress.com/2010/12/1 ... re-cyclic/
xSimonixx. Ecco il post che ti avevo indicato!
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