Ancora una domanda di logica su dimostrazione
Sera a tutti e buon sabato.
Io vorrei dimostrare: per ogni a,b $(p=ab ->a=1 or b=1)->(p|ab->p|a or p|b)$ con a,b in N e p diverso da zero e 1.
siccome spesso provo a dimostrare da solo e poi guardo il libro noto che l'autore svolge diverso da me, e vorrei qundi capire perché il mio metodo sia sbagliato. purtroppo con la logica faccio spesso pasticci e non me ne rendo conto.
la mia dimostrazione era banalmente:
$p=ab -> a=1 or b=1$ sia quindi "a=1" (senza perdere in generalità posso ripetere per b=1) allora: poiché $p|ab and a=1 -> p|1*b$ (**) quindi poiché divide almeno uno tra a e b ho trovato l'or voluto.
Il mio dubbio è che non so se sia corretto il passaggio che: avendo preso a=1 valga $p|ab and a=1$ come ipotesi dell'ultima implicazione (**). In realtà vorrei cercare di capire da solo se un passaggio è corretto logicamente, ma come faccio a capirlo? Mi sfugge.
Vi ringrazio moltissimo per il vostro aiuto, l'opportunità di poterne discutere è importantissima nel capire
.
Io vorrei dimostrare: per ogni a,b $(p=ab ->a=1 or b=1)->(p|ab->p|a or p|b)$ con a,b in N e p diverso da zero e 1.
siccome spesso provo a dimostrare da solo e poi guardo il libro noto che l'autore svolge diverso da me, e vorrei qundi capire perché il mio metodo sia sbagliato. purtroppo con la logica faccio spesso pasticci e non me ne rendo conto.
la mia dimostrazione era banalmente:
$p=ab -> a=1 or b=1$ sia quindi "a=1" (senza perdere in generalità posso ripetere per b=1) allora: poiché $p|ab and a=1 -> p|1*b$ (**) quindi poiché divide almeno uno tra a e b ho trovato l'or voluto.
Il mio dubbio è che non so se sia corretto il passaggio che: avendo preso a=1 valga $p|ab and a=1$ come ipotesi dell'ultima implicazione (**). In realtà vorrei cercare di capire da solo se un passaggio è corretto logicamente, ma come faccio a capirlo? Mi sfugge.
Vi ringrazio moltissimo per il vostro aiuto, l'opportunità di poterne discutere è importantissima nel capire
.
Risposte
Non mi pare molto significativo quello che vuoi dimostrare. Ma magari sbaglio. L'asserto di preciso qual è? Da dove viene?
Ciao
L'asserto completo è "dato p in N, allora p è primo sse p irriducibile"
Dando per noto le definizioni date dal professore di:
- p primo se p diverso da 0 e 1 t.c per ogni a,b se p|ab => p|a or p|b
- p irriducibile se p diverso da 0 e 1 t.c per ogni a,b se p=ab => a=1 or b=1
In sostanza vorrei mostrare la freccia dell'implicazione come in apertura del thread (cioè tradotto irriducibilità implica primalità).
E', partendo da tali definizioni, un asserto abbastanza significativo perché vuole mostrare la biimplicazione che lega primalità e irriducibilità.
Solo che come dicevo, ho dubbi sulla mia dimostrazione e vorri capire se è sbaglaita dove lo sia, cioè la domanda:
grazie GD.
L'asserto completo è "dato p in N, allora p è primo sse p irriducibile"
Dando per noto le definizioni date dal professore di:
- p primo se p diverso da 0 e 1 t.c per ogni a,b se p|ab => p|a or p|b
- p irriducibile se p diverso da 0 e 1 t.c per ogni a,b se p=ab => a=1 or b=1
In sostanza vorrei mostrare la freccia dell'implicazione come in apertura del thread (cioè tradotto irriducibilità implica primalità).
E', partendo da tali definizioni, un asserto abbastanza significativo perché vuole mostrare la biimplicazione che lega primalità e irriducibilità.
Solo che come dicevo, ho dubbi sulla mia dimostrazione e vorri capire se è sbaglaita dove lo sia, cioè la domanda:
Il mio dubbio è che non so se sia corretto il passaggio che: avendo preso a=1 valga $p|ab and a=1$ come ipotesi dell'ultima implicazione (**). In realtà vorrei cercare di capire da solo se un passaggio è corretto logicamente, ma come faccio a capirlo? Mi sfugge.
grazie GD.
Ecco: adesso mi è chiaro cosa volevi fare.
Il punto è questo: provare che due definizioni sono equivalenti significa provare che se un oggetto soddisfa la prima, allora esso soddisfa anche la seconda e viceversa. In questo caso significa provare che se \(p \in \mathbb{N}\) ha la proprietà di essere esrpimibile come prodotto di \(a,b \in \mathbb{N}\) solo se uno tra \(a\) e \(b\) è \(1\), allora esso ha anche la proprietà che se divide un prodotto \(ab\), allora divide almeno uno tra \(a\) e \(b\). E viceversa. Il problema qual è? E che se \(p \mid ab\), non è detto che \(p = ab\): a te serve sapere che \(p = ab\) per poter affermare che \(a = 1 \lor b = 1\).
Il punto è questo: provare che due definizioni sono equivalenti significa provare che se un oggetto soddisfa la prima, allora esso soddisfa anche la seconda e viceversa. In questo caso significa provare che se \(p \in \mathbb{N}\) ha la proprietà di essere esrpimibile come prodotto di \(a,b \in \mathbb{N}\) solo se uno tra \(a\) e \(b\) è \(1\), allora esso ha anche la proprietà che se divide un prodotto \(ab\), allora divide almeno uno tra \(a\) e \(b\). E viceversa. Il problema qual è? E che se \(p \mid ab\), non è detto che \(p = ab\): a te serve sapere che \(p = ab\) per poter affermare che \(a = 1 \lor b = 1\).
"G.D.":
Ecco: adesso mi è chiaro cosa volevi fare.
Il punto è questo: provare che due definizioni sono equivalenti significa provare che se un oggetto soddisfa la prima, allora esso soddisfa anche la seconda e viceversa.
Certo certo
, però dato che il dubbio era solo su una parte avevo ridotto la domanda senza parlare dell'altra implicazione che mi sembrava di capire e quindi allungare solo il brodo della domanda. invece ho fatto il danno di renderla meno chiara 
In questo caso significa provare che
$(p=ab ->a=1 or b=1)->(p|ab->p|a or p|b)$
Già è proprio qui che mi incastro hai trovato il punto che mi rende dubbioso, come tu dici io voglio mostrare che "se p∈N ha la proprietà di essere esrpimibile come prodotto di a,b∈N solo se uno tra a e b è 1, allora esso ha anche la proprietà che se divide un prodotto ab, allora divide almeno uno tra a e b"
Però non riesco a vedere quello che tu indichi come problema, mi spiego.. tu dici che se $p∣ab$, non è detto che $p=ab$, ma questo in teoria non lo so proprio dall'ipotesi?
Infatti come dicevo sopra "SE p∈N ha la proprietà di essere esrpimibile come prodotto di a,b∈N solo se uno tra a e b è 1".
Io quindi parto sapendo che (p|ab) inoltre che (p=ab => a=1 or b=1) e in effetti ciò implica che p|a or p∣b seguendo il ragionamento del primo messaggio.
Volendo dimostrare che l'irriducibilità implica la primalità, devi dimostrare che ogni volta che \(p\) divide un prodotto \(ab\), allora \(p\) divide almeno uno tra \(a\) e \(b\) e devi dimostrare il sussistere di tale fatto usando il fatto che \(p\) è irriducibile. Ecco allora che le tue ipotesi sono due: la prima ipotesi è che \(p \mid ab\) e la seconda è che \(p\) è irriducibile. Il fatto che \(p\) sia irriducibile significa che se \(p\) è uguale ad un prodotto, allora uno dei due fattori deve essere l'unità: questo vuol dire che per poter asserire che uno dei due fattori è l'unità, devi prima sapere che \(p\) è uguale al prodotto in questione. Ora: il fatto che \(p \mid ab\) non significa necessariamente che \(p = ab\), quindi non hai la sicurezza che sia \(p = ab\), quindi non puoi inferire che uno tra \(a\) e \(b\) è l'unità.
Devo ammettere che per quanto possa apparire semplice 'sta cosa mi imbroglia un sacco, perché se è pur vero che $p|ab$ non significa che $p=ab$, certamente, come dici mi sembra sia una ipotesi: cioè io ipotizzo che p|ab; ciò non vuol dire che p=ab ma lo assumo vero perché è l'altra mia ipotesi: io infatti ipotizzo che p=ab e solo quando è tale e vale anche p|ab arrivo alla tesi.
Oddio forse ho capito solo ora, correggimi se erro.
Il mio errore era che io devo dimostrare: $(A=>B)=>(C=>D)$ (1) e erroneamente dicevo questo è uguale ad avere due ipotesi (A=>B) con il fatto che vale anche C, quindi mi accingevo a dimostrare: $((A=>B)∧C)=>D$ (2) ma i due asserti (1) e (2) non sono la stessa cosa[nota]meglio detto: non sono logicamente equivalenti.[/nota].
Quello che mi suggerisci tu è invece di partire da $C$ e mostrando che $C$ implica (in qualche modo) che vale $A$, sfruttando l'ulteriore tesi che $A=>B$ devo riuscire a mostrare che $C=>D$,
questo vuol dire dimostrare $(A=>B)=>(C=>D)$
corretto ora? TI prego dimmi che era quello l'errore 
Il mio errore era che io devo dimostrare: $(A=>B)=>(C=>D)$ (1) e erroneamente dicevo questo è uguale ad avere due ipotesi (A=>B) con il fatto che vale anche C, quindi mi accingevo a dimostrare: $((A=>B)∧C)=>D$ (2) ma i due asserti (1) e (2) non sono la stessa cosa[nota]meglio detto: non sono logicamente equivalenti.[/nota].
Quello che mi suggerisci tu è invece di partire da $C$ e mostrando che $C$ implica (in qualche modo) che vale $A$, sfruttando l'ulteriore tesi che $A=>B$ devo riuscire a mostrare che $C=>D$,
questo vuol dire dimostrare $(A=>B)=>(C=>D)$
corretto ora?
TI prego dimmi che era quello l'errore
Sì e no.
Tu hai da provare che \((A \to B) \to (C \to D)\) e per provare ciò devi provare che \(((A \to B) \land C) \to D\).
Ciò è dovuto ad una regola logica che va talvolta sotto il nome di legge di importazione-esportazione: se vuoi, verifica che \((P \land Q) \to R\) ha la stessa tavola di verità di \(P \to (Q \to R)\), a questo punto sostituisci \(P\), \(Q\) e \(R\) rispettivamente con \(A \to B\), \(C\) e \(D\).
Invece tu hai provato che \((B \land C) \to D\) perché hai assunto a priori (non so quanto consapevolmente) la validità di \(A\), da cui hai tratto la validità di \(B\).
Ora: se riesci a provare che \(C \to A\), allora quello che tu hai provato va bene ed è lo stesso che provare quello che avresti dovuto provare; se non riesci a provare che \(C \to A\), allora quello che tu hai provato, pur andando bene in sé, non va bene nel senso che non è lo stesso che provare quello che avresti dovuto provare. E in questo caso non puoi provare che \(C \to A\), dato che può essere \(p \mid ab\) senza che sia \(p = ab\).
Tu hai da provare che \((A \to B) \to (C \to D)\) e per provare ciò devi provare che \(((A \to B) \land C) \to D\).
Ciò è dovuto ad una regola logica che va talvolta sotto il nome di legge di importazione-esportazione: se vuoi, verifica che \((P \land Q) \to R\) ha la stessa tavola di verità di \(P \to (Q \to R)\), a questo punto sostituisci \(P\), \(Q\) e \(R\) rispettivamente con \(A \to B\), \(C\) e \(D\).
Invece tu hai provato che \((B \land C) \to D\) perché hai assunto a priori (non so quanto consapevolmente) la validità di \(A\), da cui hai tratto la validità di \(B\).
Ora: se riesci a provare che \(C \to A\), allora quello che tu hai provato va bene ed è lo stesso che provare quello che avresti dovuto provare; se non riesci a provare che \(C \to A\), allora quello che tu hai provato, pur andando bene in sé, non va bene nel senso che non è lo stesso che provare quello che avresti dovuto provare. E in questo caso non puoi provare che \(C \to A\), dato che può essere \(p \mid ab\) senza che sia \(p = ab\).
Caspita sta cosa mi porterà alla pazzia, devo assolutamente capire. Il messaggio mi è chiaro e mi torna tutto, modulo aver capito perché devo dimostrare quel dannato A vero dato C vero.
Io ho una implicazione $R->F$ con $R:=((A→B)∧C)$ e $F:=D$, esplicitamente \(((A \to B) \land C) \to D\) e fin qui ci sono
ora, per dimostrare una implicazione devo mostrare che per quando vero R ho vero anche F.
Ma R quando è vero mi dico? Beh è vero se è vera l'ipotesi $A->B$ e l'ipotesi $C$ (assieme poiché in rapporto di congiunzione).
C è vera quando è vero p|ab e non ci dà problemi, altresì mi dico quando è vera $A->B$? beh essa è vera quando A è vera e se assunta A vera lo è anche B, quindi devo avere $p=ab$ come ulteriore ipotesi che mi dà $a=1 or b=1$.
Insomma, mi sembra di vedere l'ipotesi che devo avere p=ab e p|ab valide entrambe e assuntge come ipotesi scorrelate (cioè valida $R$) per dimosrare poi $F$.
In pratica mi sembra di dover prendere come ipotesi un p che abbia la proprietà a priori di essere p=ab E p|ab. ossia sceglierlo tale per ipotesi. Se poi ho un p così allora vale la tesi, se invece ho solo un p|ab e che non rispetta l'essere p=ab allora non vale l'ipotesi poiché solo C è vera e non A.
Non capisco invece perché A debba essere subordinata alla validità di C in qeusto tipo di dimostrazione, cioè che insomma $C->A$. devo cioè verificare che vale A quando vale C, ma a me sembra invece come dicevo di dover considerare la validità di A scorrelata dalla validità di C, cioè assumerle entrambe come ipotesi diciamo.
Ti assicuro che mi sto impegnando un sacco ma non riesco a vedere questa subordinazione della verità di A da C e da un giorno ma sta cosa mi sfugge e devo assolutamente fissarla.
PS: non so se son stato chiaro, forse potrei riassumere cosi il dubbio: io dico se prendo un p che sia tale che p=ab [nota](quindi A vera)[/nota] e che valga anche p=|ab [nota](quindi C vera)[/nota] poiché se p=ab ho certamente che a=1 o b=1 [nota](A->B)[/nota] allora la tesi ho assunto già A e C vere, ossia le scelgo già che siano tali.
Cioè assumo per ipotesi che p abbia entrambe le caratteristiche, invece non capisco perché \(((A \to B) \land C) \to D\) racchiuda una richiesta di $C->A$ in un certo senso, cioè che A sia subortinato a C come valore di verità da provare, questa cosa mi strugge
Io ho una implicazione $R->F$ con $R:=((A→B)∧C)$ e $F:=D$, esplicitamente \(((A \to B) \land C) \to D\) e fin qui ci sono
ora, per dimostrare una implicazione devo mostrare che per quando vero R ho vero anche F.
Ma R quando è vero mi dico? Beh è vero se è vera l'ipotesi $A->B$ e l'ipotesi $C$ (assieme poiché in rapporto di congiunzione).
C è vera quando è vero p|ab e non ci dà problemi, altresì mi dico quando è vera $A->B$? beh essa è vera quando A è vera e se assunta A vera lo è anche B, quindi devo avere $p=ab$ come ulteriore ipotesi che mi dà $a=1 or b=1$.
Insomma, mi sembra di vedere l'ipotesi che devo avere p=ab e p|ab valide entrambe e assuntge come ipotesi scorrelate (cioè valida $R$) per dimosrare poi $F$.
In pratica mi sembra di dover prendere come ipotesi un p che abbia la proprietà a priori di essere p=ab E p|ab. ossia sceglierlo tale per ipotesi. Se poi ho un p così allora vale la tesi, se invece ho solo un p|ab e che non rispetta l'essere p=ab allora non vale l'ipotesi poiché solo C è vera e non A.
Non capisco invece perché A debba essere subordinata alla validità di C in qeusto tipo di dimostrazione, cioè che insomma $C->A$. devo cioè verificare che vale A quando vale C, ma a me sembra invece come dicevo di dover considerare la validità di A scorrelata dalla validità di C, cioè assumerle entrambe come ipotesi diciamo.
Ti assicuro che mi sto impegnando un sacco ma non riesco a vedere questa subordinazione della verità di A da C e da un giorno ma sta cosa mi sfugge e devo assolutamente fissarla.
PS: non so se son stato chiaro, forse potrei riassumere cosi il dubbio: io dico se prendo un p che sia tale che p=ab [nota](quindi A vera)[/nota] e che valga anche p=|ab [nota](quindi C vera)[/nota] poiché se p=ab ho certamente che a=1 o b=1 [nota](A->B)[/nota] allora la tesi ho assunto già A e C vere, ossia le scelgo già che siano tali.
Cioè assumo per ipotesi che p abbia entrambe le caratteristiche, invece non capisco perché \(((A \to B) \land C) \to D\) racchiuda una richiesta di $C->A$ in un certo senso, cioè che A sia subortinato a C come valore di verità da provare, questa cosa mi strugge
\(A \to B\) è vera per ipotesi. Ma un costrutto condizionale può essere vero anche quando l'antecedente è falso. In questa eventualità non puoi dedurre \(B\).
Solo se tu riuscissi a provare \(C \to A\), sapendo che è vero \(A \to B\), potresti allora dedurre \(B\). Ma in questo caso non puoi: non puoi dedurre \(p = ab\) dal fatto che \(p \mid ab\).
Solo se tu riuscissi a provare \(C \to A\), sapendo che è vero \(A \to B\), potresti allora dedurre \(B\). Ma in questo caso non puoi: non puoi dedurre \(p = ab\) dal fatto che \(p \mid ab\).
EDIT: corretto typo
Sempre riferendoci a ((A→B)∧C)→D
ok credo fosse questo il punto dubbio fin dall'inizio, in sostanza il mio errore era che dato che voglio considerare (A->B) vero dicevo che potevo farlo prendendo A vero per ipotesi e poi "congiunzione" anche C lo prendevo vero.
Però (A->B) può essere vero con A falso e avrei (A->B) comunque vero ma B falso e C vero mi porterebbe in modo errato a dedurre che anche D lo sia sfruttando di fatto B che non lo era.
Credo sia questo che volevi dirmi giusto?
In teoria ora mi pare d'esserci, vorrei solo aggiungere un'ultima domanda (prometto ):
Ma se io in qualche modo riuscissi ad avere che A è sicuramente vera a prescindere da C, cioè assumere una A vera a priori non ho automaticamente (per ipotesi) A vera quindi conseguente B vero a prescindere dal dimostrare A->C?
Non capisco perché non posso fare questa assunzione, cioè assumere una A a priori vera, scelta a tavolino diciamo.
[specializzandolo al nostro caso è vero che non posso concludere che dato un certo p|ab vero anche p=ab lo sia, ma io dico SOLO (e sottolineo solo) quando prendo p che rispetta l'essere uguale ad a*b e p|ab, cioè un particolare p (non tutti in teoria) che ha tali caratteristiche il teorema è vero, mi parrebbe di si perché io ho scelto p che renda vera A a tavolino. Mi sembra un teorema validissimo e lo scriverei come ((A→B)∧C)→D.
Ancora più concretamente dico: il teorema è vero se scelgo a priori un p irriducibile come prodotto 5=a*b esso avraà a=1 o b=1 inoltre p|5 allora e' vera la tesi (su questo particolare p non per tutti in teoria),
Ho quindi forzato A ad essere vera, perché scelta vera]
Non capisco cosa ci sia sbagliato in questo.
Grazie mille G.D mi stai dando una mano enorme
Buon sabato a te!
Sempre riferendoci a ((A→B)∧C)→D
ok credo fosse questo il punto dubbio fin dall'inizio, in sostanza il mio errore era che dato che voglio considerare (A->B) vero dicevo che potevo farlo prendendo A vero per ipotesi e poi "congiunzione" anche C lo prendevo vero.
Però (A->B) può essere vero con A falso e avrei (A->B) comunque vero ma B falso e C vero mi porterebbe in modo errato a dedurre che anche D lo sia sfruttando di fatto B che non lo era.
Credo sia questo che volevi dirmi giusto?
In teoria ora mi pare d'esserci, vorrei solo aggiungere un'ultima domanda (prometto
):Solo se tu riuscissi a provare C→A, sapendo che è vero A→B, potresti allora dedurre B.
Ma se io in qualche modo riuscissi ad avere che A è sicuramente vera a prescindere da C, cioè assumere una A vera a priori non ho automaticamente (per ipotesi) A vera quindi conseguente B vero a prescindere dal dimostrare A->C?
Non capisco perché non posso fare questa assunzione, cioè assumere una A a priori vera, scelta a tavolino diciamo.
[specializzandolo al nostro caso è vero che non posso concludere che dato un certo p|ab vero anche p=ab lo sia, ma io dico SOLO (e sottolineo solo) quando prendo p che rispetta l'essere uguale ad a*b e p|ab, cioè un particolare p (non tutti in teoria) che ha tali caratteristiche il teorema è vero, mi parrebbe di si perché io ho scelto p che renda vera A a tavolino. Mi sembra un teorema validissimo e lo scriverei come ((A→B)∧C)→D.
Ancora più concretamente dico: il teorema è vero se scelgo a priori un p irriducibile come prodotto 5=a*b esso avraà a=1 o b=1 inoltre p|5 allora e' vera la tesi (su questo particolare p non per tutti in teoria),
Ho quindi forzato A ad essere vera, perché scelta vera]
Non capisco cosa ci sia sbagliato in questo.
Grazie mille G.D mi stai dando una mano enorme
Buon sabato a te!
"ILjumpy":
Ma se io in qualche modo riuscissi ad avere che A è sicuramente vera a prescindere da C, cioè assumere una A vera a priori non ho automaticamente (per ipotesi) A vera quindi conseguente B vero a prescindere dal dimostrare A->C?
Non capisco perché non posso fare questa assunzione, cioè assumere una A a priori vera, scelta a tavolino diciamo.
Se \(A\) è una tautologia, allora non ha molto senso la dimostrazione in se, se invece è una ipotesi aggiuntiva allora non stai dimostrando la tesi iniziale.
Ciao @vict85 vorrei ringraziare anche te per l'intervento e cercare di aiutarmi a capire (come ringrazio GD per tutto l'aiuto datomi)
Quello che vorrei dire e che mi manda un po' in crisi è che ovviamente se voglio dimostrare in generale $((A→B)∧C)→D$ ho finalmente capito come dicevo nel precedente post perché GD diceva che devo collegare $C->A$ perché ovviamente come dite non ho certezza nel caso particolare che se vale C allora vale anche A, mi viene facile per spiegarmi specializzarlo in questo caso:
Riassumo per evitarti lo sbattone di leggere due pagine
[/quote]
Ebbene, qui è evidente quanto dite voi, ovviamente $p|ab$ non mi dà la certezza che io abbia anche $p=ab$, per nulla, tuttavia se riesco a mostrare che $p|ab=>p=ab$ sono a cavallo e la dimostrazione prosegue liscia come l'olio.
però qui mi chiedo:
Ancora più concretamente dico: il teorema è vero se scelgo a priori un p irriducibile come prodotto es. $5=a*b$ esso avrà $a=1$ o $b=1$ inoltre $p|5$ allora e' vera la tesi (su questo particolare p non per tutti in teoria),
Ho quindi forzato A ad essere vera, perché scelta come "ipotesi" vera
Forse è questa una tatuologia di cui parli?
Quello che vorrei dire e che mi manda un po' in crisi è che ovviamente se voglio dimostrare in generale $((A→B)∧C)→D$ ho finalmente capito come dicevo nel precedente post perché GD diceva che devo collegare $C->A$ perché ovviamente come dite non ho certezza nel caso particolare che se vale C allora vale anche A, mi viene facile per spiegarmi specializzarlo in questo caso:
Riassumo per evitarti lo sbattone di leggere due pagine
Io vorrei dimostrare: per ogni a,b $(p=ab ->a=1 or b=1)->(p|ab->p|a or p|b)$ con a,b in N e p diverso da zero e 1.
Dando per noto le definizioni date dal professore di:
- p primo se p diverso da 0 e 1 t.c per ogni a,b se p|ab => p|a or p|b
- p irriducibile se p diverso da 0 e 1 t.c per ogni a,b se p=ab => a=1 or b=1
In sostanza vorrei mostrare la freccia dell'implicazione come in apertura del thread (cioè tradotto irriducibilità implica primalità).
la mia dimostrazione era banalmente: (e qui si nota l'errore che dite voi)
[quote]$p=ab -> a=1 or b=1$ sia quindi "a=1" (senza perdere in generalità posso ripetere per b=1) allora: poiché $p|ab and a=1 -> p|1*b$ (**) quindi poiché divide almeno uno tra a e b ho trovato l'or voluto.
Il mio dubbio è che non so se sia corretto il passaggio che: avendo preso a=1 valga $p|ab and a=1$ come ipotesi dell'ultima implicazione (**). In realtà vorrei cercare di capire da solo se un passaggio è corretto logicamente, ma come faccio a capirlo? Mi sfugge.
[/quote]
Ebbene, qui è evidente quanto dite voi, ovviamente $p|ab$ non mi dà la certezza che io abbia anche $p=ab$, per nulla, tuttavia se riesco a mostrare che $p|ab=>p=ab$ sono a cavallo e la dimostrazione prosegue liscia come l'olio.
però qui mi chiedo:
Ancora più concretamente dico: il teorema è vero se scelgo a priori un p irriducibile come prodotto es. $5=a*b$ esso avrà $a=1$ o $b=1$ inoltre $p|5$ allora e' vera la tesi (su questo particolare p non per tutti in teoria),
Ho quindi forzato A ad essere vera, perché scelta come "ipotesi" vera
Forse è questa una tatuologia di cui parli?
No, una tautologia è qualcosa di sempre vero. Porre \(p=5\) non è una tautologia, è una scelta.
Comunque io farei così. Prendi \(p | ab\). Sia \(c = \max \{n\in\mathbb{N} : n | a \wedge n | p \}\) (insomma il massimo comun divisore) e \(d = p/c\). Allora, hai che \(p = cd\). Pertanto, \(c=1\) oppure \(d=1\). Nel primo caso \(p | b\), nel secondo \(p | a\).
Comunque io farei così. Prendi \(p | ab\). Sia \(c = \max \{n\in\mathbb{N} : n | a \wedge n | p \}\) (insomma il massimo comun divisore) e \(d = p/c\). Allora, hai che \(p = cd\). Pertanto, \(c=1\) oppure \(d=1\). Nel primo caso \(p | b\), nel secondo \(p | a\).
Sìsì ma io ho dimostrato così come dici tu alla fine. Quindi il problema non è la dimostrazione in sé perché ho compreso come farla e ho compreso che ((A→B)∧C)→D vuol dire poter giungere da C ad avere una A che mi permetta di sfruttare A->B, e questo lo si ottiene proprio usando il MCD che mi permette di scrivere sempre p come un prodotto (quindi ho A) e usare l'implicazione A->B. E questo l'ho capito benissimo.
Solo non riesco proprio a comprendere quel fatto di cui ti parlavo, cioè mi sfugge perché sia logicamente errato dire: io voglio dimostrare $((A→B)∧C)→D$ (**) che nel nostro caso specifico è $(p=ab→a=1orb=1)→(p|ab→p|aorp∣b)$ e mi dico ok prendiamo un p tale per cui sia vero contemporanemante che p=ab ma che al contempo tale p rispetti anche p|ab, ebbene in tal caso automaticamente è vera A→B perché ho scelto un antecedente A (cioè che p=ab) a tavolino e anche C è vera perché ho scelto p|ab allora ciò mi sembra dimostrare esattamente (**) ma non per un p qualsiasi (ovviamente) ma per un p che rispetti p|ab e p=ab e non comprendo per quanto mi sforzi perché sia errato ragionare così e la cosa mi spaventa un sacco perché se non capisco davvero l'errore non ho imparato un bel nulla.
Solo non riesco proprio a comprendere quel fatto di cui ti parlavo, cioè mi sfugge perché sia logicamente errato dire: io voglio dimostrare $((A→B)∧C)→D$ (**) che nel nostro caso specifico è $(p=ab→a=1orb=1)→(p|ab→p|aorp∣b)$ e mi dico ok prendiamo un p tale per cui sia vero contemporanemante che p=ab ma che al contempo tale p rispetti anche p|ab, ebbene in tal caso automaticamente è vera A→B perché ho scelto un antecedente A (cioè che p=ab) a tavolino e anche C è vera perché ho scelto p|ab allora ciò mi sembra dimostrare esattamente (**) ma non per un p qualsiasi (ovviamente) ma per un p che rispetti p|ab e p=ab e non comprendo per quanto mi sforzi perché sia errato ragionare così e la cosa mi spaventa un sacco perché se non capisco davvero l'errore non ho imparato un bel nulla.
Non so quanto possa valere ed esser corretto, ma spero possa aiutare il proseguio della discussione. Mi sembra che così facendo tu dimostri: $((A→B)∧C∧A)→D$ (cioè hai aggiunto l'ipotesi A vera) e non $((A→B)∧C)→D$
O almeno, così mi pare di aver capito leggendo l'intera discussione e le loro parole. Mi correggano @G.D. e @vict85 se sbaglio..
O almeno, così mi pare di aver capito leggendo l'intera discussione e le loro parole. Mi correggano @G.D. e @vict85 se sbaglio..
Stai semplificando un po' troppo e dimenticando i quantificatori. Non è \(\bigl(p=ab \rightarrow (a=1 \vee b=1)\bigr)\) ma \(\forall a,b\; \bigl(p=ab \rightarrow (a=1 \vee b=1)\bigr)\). Similmente, non è \(\bigl(p|ab\rightarrow(p|a \vee p|b)\bigr)\) ma \(\forall a,b\; \bigl(p|ab\rightarrow(p|a \vee p|b)\bigr)\). Nota inoltre che quel che vuoi dimostrare ha la forma \(\forall p\;\biggl(\Bigl(\forall a,b\; \bigl(p=ab \rightarrow (a=1 \vee b=1)\bigr)\Bigr)\rightarrow \Bigl(\forall c,d\; \bigl(p|cd\rightarrow(p|c \vee p|d)\bigr)\Bigr)\biggr)\). Ho evitato di riusare \(a\) e \(b\) per essere più chiaro. Se tu fissi qualcosa allora non stai dimostrando quello che vuoi dimostrare.
@vict85: curiosità, dato che ormai ho disturbato qui e siamo in ballo, quello che scrivevo nell'ultimo messaggiosopra il tuo è sbagliato secondo te?
"aritmetico":
@vict85: curiosità, dato che ormai ho disturbato qui e siamo in ballo, quello che scrivevo nell'ultimo messaggiosopra il tuo è sbagliato secondo te?
Sì, è corretto.
Gentilissimo! Grazie mille
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