Ancora teoria degli insiemi - Famiglie
Scusate il dubbio scemo, ma non mi ritrovo nei miei appunti (un po' incasinati... 
).
Si consideri la famiglia di insiemi definita da $F={A_n}$, dove $A_n={x in RR | n<=x<=n+1}$, con $n in ZZ$ (per cortesia, ditemi è scritto bene?).
E' ovvio che $uuu_(n in ZZ)A_n=RR$ (cioè è un ricoprimento). Ma cosa si può dire di $nnn_(n in ZZ) A_n$? Non so, nei miei appunti ho scritto che è uguale all'insieme vuoto, ma non penso sia vero (in tal caso sarebbe una partizione, ma basta prendere $A_2 cap A_3={3}$ per vedere che non è l'insieme vuoto).
Voi che cosa pensate?
Grazie.
).Si consideri la famiglia di insiemi definita da $F={A_n}$, dove $A_n={x in RR | n<=x<=n+1}$, con $n in ZZ$ (per cortesia, ditemi è scritto bene?).
E' ovvio che $uuu_(n in ZZ)A_n=RR$ (cioè è un ricoprimento). Ma cosa si può dire di $nnn_(n in ZZ) A_n$? Non so, nei miei appunti ho scritto che è uguale all'insieme vuoto, ma non penso sia vero (in tal caso sarebbe una partizione, ma basta prendere $A_2 cap A_3={3}$ per vedere che non è l'insieme vuoto).
Voi che cosa pensate?
Grazie.
Risposte
Il fatto che una sottofamiglia abbia intersezione non vuota non significa che l'intersezione totale è non vuota: osserva che $A_2 nn A_3 nn A_4 = emptyset$. Quindi $cap_n A_n subseteq A_2 nn A_3 nn A_4$ è anch'essa vuota.
Sono giusti gli appunti 
Infatti giustamente dici
${3}=inA_2\nnA_3$, ma se già aggiungi $A_4$ all'intersezione vedi che ottieni un insieme vuoto
$A_2\nnA_3\nnA_4=\emptyset$
Infatti non vi è nessun elemento che appartiene contemporaneamente ai tre insiemi, e te ne rendo conto facilmente (potresti anche togliere $A_3$, se noti, e ottieni sempre il vuoto).
In generale, ricorda questa regola qualitativa: più insiemi metti ad intersecare, più quello che ti esce si riduce.
E' come quando in gruppo si è in tanti, ed è difficile trovare qualcosa da fare che vada bene a tutti tutti
L'esatto contrario, ovviamente, per l'unione.
Ciao!
Infatti giustamente dici
${3}=inA_2\nnA_3$, ma se già aggiungi $A_4$ all'intersezione vedi che ottieni un insieme vuoto
$A_2\nnA_3\nnA_4=\emptyset$
Infatti non vi è nessun elemento che appartiene contemporaneamente ai tre insiemi, e te ne rendo conto facilmente (potresti anche togliere $A_3$, se noti, e ottieni sempre il vuoto).
In generale, ricorda questa regola qualitativa: più insiemi metti ad intersecare, più quello che ti esce si riduce.
E' come quando in gruppo si è in tanti, ed è difficile trovare qualcosa da fare che vada bene a tutti tutti
L'esatto contrario, ovviamente, per l'unione.
Ciao!
Provvidenziali, come al solito. Grazie mille, davvero, per le spiegazioni, sia a te Martino, sia a te Steven (bellissima e utilissima la regola qualitativa, la terrò a mente, è davvero molto utile ).
Grazie mille ancora e scusate per gli appunti mal presi
(ma per fortuna giusti ) .
Alla prossima.
).Grazie mille ancora e scusate per gli appunti mal presi
(ma per fortuna giusti ) . Alla prossima.
Rieccomi . Anche questa volta sono qui per una conferma ('sta volta gli appunti li ho presi bene, tranquilli! ). Ho trovato in giro per la rete qualche esercizietto sulle famiglie e, siccome è un concetto a me nuovo, ho voluto mettermi alla prova. Non ci sono le soluzioni, per cui mi rivolgo a voi, sperando di non disturbarvi troppo.
Si considerino le famiglie di insiemi definite da:
$L_n={x in QQ | -1/n
$H_n={x in QQ | 0
Allora:
$nnn_(n in NN)L_n={0}$
$nnn_(n in NN)S_n={0}$
$nnn_(n in NN)S_n=\emptyset$
Infatti, nel primo caso, gli insiemi sono tutti incapsulati (cioè, correggetemi se sbaglio, $n>m => L_n subseteq L_m$); esiste, però, un elemento razionale comune a tutti, ed è lo zero. Idem per il secondo, che è simile all'esempio di ieri sera su cui non mi ritrovavo.
Osservazione: si può dire che $L_n subseteq S_n$?
L'ultima, invece, ha intersezione vuota, giacchè si riesce sempre a trovare un elemento che non è contenuto in tutti gli insiemi.
Che ne dite? Si può fare un discorso anche sull'unione? dove ho trovato questo esercizio c'erano solo queste richeste, ma se mi dite che anche per l'unione viene fuori qualcosa di non troppo complesso allora lo scrivo. Per adesso ci penso su.
Grazie in anticipo e scusate se ho detto bestialità.
. Anche questa volta sono qui per una conferma ('sta volta gli appunti li ho presi bene, tranquilli! ). Ho trovato in giro per la rete qualche esercizietto sulle famiglie e, siccome è un concetto a me nuovo, ho voluto mettermi alla prova. Non ci sono le soluzioni, per cui mi rivolgo a voi, sperando di non disturbarvi troppo. Si considerino le famiglie di insiemi definite da:
$L_n={x in QQ | -1/n
$H_n={x in QQ | 0
Allora:
$nnn_(n in NN)L_n={0}$
$nnn_(n in NN)S_n={0}$
$nnn_(n in NN)S_n=\emptyset$
Infatti, nel primo caso, gli insiemi sono tutti incapsulati (cioè, correggetemi se sbaglio, $n>m => L_n subseteq L_m$); esiste, però, un elemento razionale comune a tutti, ed è lo zero. Idem per il secondo, che è simile all'esempio di ieri sera su cui non mi ritrovavo.
Osservazione: si può dire che $L_n subseteq S_n$?
L'ultima, invece, ha intersezione vuota, giacchè si riesce sempre a trovare un elemento che non è contenuto in tutti gli insiemi.
Che ne dite? Si può fare un discorso anche sull'unione? dove ho trovato questo esercizio c'erano solo queste richeste, ma se mi dite che anche per l'unione viene fuori qualcosa di non troppo complesso allora lo scrivo. Per adesso ci penso su.
Grazie in anticipo e scusate se ho detto bestialità.
Per l'intersezione degli $L_n$ dovresti anche mostrare che $0$ è l'unico elemento comune. L'argomento è lo stesso che usi per mostrare che l'intersezione degli $H_n$ è vuota. Quanto all'unione, si calcola facilmente per le tre famiglie.
"Martino":
Per l'intersezione degli $L_n$ dovresti anche mostrare che $0$ è l'unico elemento comune. L'argomento è lo stesso che usi per mostrare che l'intersezione degli $H_n$ è vuota.
In sostanza, dovrei dire che $0$ è l'unico elemento comune a tutti gli insiemi della famiglia. In effetti, ${0} in L_n, forall n in NN$ e si vede facilmente che per ogni altro elemento si può sempre trovare un insieme degli $L_n$ che non lo contiene.
E' corretto?
"Martino":
Quanto all'unione, si calcola facilmente per le tre famiglie.
$uuu_(n in NN)L_n={x in QQ | -1
$uuu_(n in NN)S_n={x in QQ | -1<=x<=1}$, cioè tutti i razionali tra $-1$ e $1$ (estremi inclusi).
$uuu_(n in NN)H_n={x in QQ | 0
Ci sono?
Grazie per l'aiuto.
Paolo
Sì, l'unione è giusta ovviamente.
Per l'intersezione, so bene che si vede facilmente.
Se uno volesse fare proprio bella figura, allora basta dimostrare che per ogni reale $epsilon>0$ esiste un naturale (e non solo 1) $n$ tale che $1/n
Analogamente per i reali negativi (c'è simmetria).
Ciao.
Per l'intersezione, so bene che si vede facilmente.
Se uno volesse fare proprio bella figura, allora basta dimostrare che per ogni reale $epsilon>0$ esiste un naturale (e non solo 1) $n$ tale che $1/n
Analogamente per i reali negativi (c'è simmetria).
Ciao.
Perfetto, grazie mille.
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