Ancora sulle congruenze...

[Paolo902]

Vi sottopongo altri due esercizietti e avrei gentilmente bisogno della vostra correzione.

i) "$p^2-1$ è divibile per $24$ per ciascun primo $p>3$ ".

Dimostrare che un numero è divisibile per $24$ significa dimostrare che è divisibile per $2$,$3$,$4$. Essendo $p$ un primo allora è sicuramente dispari, quindi posso scriverlo come $p=2k+1$.
$p^2-1=(p+1)(p-1)=2*2k(k+1)$ che evidentemente è divisibile sia per $2$ che per $4$ (detto in altra forma: $2*2*k(k+1) \equiv 0 mod2$ e $2*2*k(k+1) \equiv 0 mod4$). Resta da dimostrare che $p^2-1 \equiv 0 mod3$. Usiamo un corollario del Piccolo (di Fermat) per cui è $p^(3-1) \equiv 1mod3$ da cui $p^2 \equiv 1 mod3$, cioè $p^2-1 \equiv 0mod3$.
Segue la tesi.

ii) Dimostrare che per $a,b,c in ZZ$ il numero $b^2-4ac$ è congruo a $0$ o $1$ modulo $4$.

Di questo sono un po' più insicuro, perchè la dimostrazione mi pare "banale". Infatti, sappiamo che il quadrato di ogni intero è congruo $0mod4$ oppure $1mod4$. Quindi $b^2 \equiv 0 mod4$ o $b^2 \equiv 1 mod4$. Nel primo caso, poichè ovviamente anche $4ac \equiv 0 mod4$ si ricava $b^2-4ac \equiv 0 mod4$; nel secondo caso, sempre per lo stesso motivo ($4ac \equiv 0 mod4$), sottraendo si ha $b^2-4ac \equiv 1 mod4$.

Che ne dite? Vi prego, perdonatemi se ho scritto delle "atrocità"... Vi ringrazio in anticipo.
Grazie, Paolo

P.S. Avete un'interpretazione "algebrica" del secondo teorema? Perchè $b^2-4ac$ è palesemente il discriminante di un'equazione di secondo grado... Grazie. Paolo

[Steven11]

Dimostrare che un numero è divisibile per $24$ significa dimostrare che è divisibile per $2$,$3$,$4$

Mmm, no, questa è una leggerezza.
Il numero $36$ o anche $12$ risponde ai tuoi requisiti, ma non si tratta di numeri divisibili per $24$.
Avresti dovuto dire "divisibili per 3 e 8", fine.

L'esercizio è risolto banalmente se conosci come rappresentare un numero primo in modulo $6$
Pensaci (sono giusto... 6 casi)

Anche a me il secondo pare banale. Non mi viene in mente nulla a proposito del discriminante.
Ciao.

[Paolo902]

"Steven":

Dimostrare che un numero è divisibile per $24$ significa dimostrare che è divisibile per $2$,$3$,$4$

Mmm, no, questa è una leggerezza.
Il numero $36$ o anche $12$ risponde ai tuoi requisiti, ma non si tratta di numeri divisibili per $24$.
Avresti dovuto dire "divisibili per 3 e 8", fine.

Caspita, è vero. Grazie caro Steven, non me ne ero reso conto.

"Steven":
L'esercizio è risolto banalmente se conosci come rappresentare un numero primo in modulo $6$
Pensaci (sono giusto... 6 casi)

No, non ti seguo. Come posso scrivere modulo $6$ un numero primo? Mi dai un hint, please?

"Steven":
Anche a me il secondo pare banale. Non mi viene in mente nulla a proposito del discriminante.
Ciao.

E' abbastanza curiosa questa cosa del discriminante... Comunque grazie mille, Steven!
Davvero troppo gentile.
Grazie
Paolo

[Steven11]

No, non ti seguo. Come posso scrivere modulo 6 un numero primo? Mi dai un hint, please?

Allora, saprai che un numero può essere, modulo 6:

$0$ se è nella forma $6k$

$1$ se è nella forma $6k+1$

$2$ se è nella forma $6k+2$

$3$ se è nella forma $6k+3$

$4$ se è nella forma $6k+4$

$5$ se è nella forma $6k+5$

Un numero che è primo è sicuramente della forma $6k+1$ o $6k+5$
Infatti non è $6k+2$ (sarebbe pari, impossibile) e nemmeno $6k$ e $6k+4$, tantomento $6k+3$ (sarebbe divisibile per $3$).
Molto spesso si dice che un primo $p$ è nella forma $6k+-1$ perchè $6k-1$ sarebbe il caso $6k+5$, alla fine.
Attento, non è vero il viceversa: tutti i primi sono del tipo $6n+-1$, ma non tutti i numeri nella forma $6n+-1$ sono primi, prendi $35$

Detto tutto ciò, il tuo problema è praticamente risolto.
Se a $p^2-1$ sostituisci $p=6n+-1$, distinguendo i due casi, fai subito.

Ciao.

[Paolo902]

Grazie mille, ho capito cosa volevi dire. E' molto chiara la spiegazione che mi hai fatto... E' davvero un metodo bello ed elegante. Ti ringrazio per avermelo spiegato perchè non lo conoscevo. Grazie, alla prossima.
Ciao ciao, buona notte.

Grazie,
Paolo

[Steven11]

Prego, buonanotte anche a te.