Ancora sugli isomorfismi (tra gruppi):è corretto?

[Paolo902]

"Il mio libro di Algebra":
Il gruppo $(RR,+)$ è isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri reali positivi attraverso la funzione $e^x$

Buongiorno a tutti.
Scusate il disturbo, avrei bisogno di un chiarimento circa la frase che ho riportato sopra. Ho cercato di dare la seguente spiegazione, che fa capo alla definizione da me studiata di isomorfismo. Vorrei però sapere se è giusto.

Definizione I. Due gruppi $(G,+)$ e $(G', *)$ sono isomorfi se esiste un'applicazione biunivoca $phi$ tra $G$ e $G'$ che conserva l'operazione, tale cioè che
$phi(a+b)=phi(a) * phi(b)$

Io ho pensato: $y=e^x$ è indubbiamente biunivoca (suriettiva e iniettiva); inoltre
$e^(a+b)=e^a*e^b mbox{ } forall a,b in RR$

Dunque $(RR,+)$ è isomorfo a $(RR, *)$. E' giusto?

Ultima cosa: posso dire allora che $(RR^+,*)$ è isomorfo a $(RR^+,+)$ attraverso la funzione logaritmo?
Essa è biunivoca e si ha $log(ab)=loga+logb mbox{ } forall a,b \in RR^+$. Che ne dite?

Grazie, come al solito, del vostro aiuto.

Paolo

[dissonance]

va bene: chiaramente se $phi$ è un isomorfismo anche $\phi^{-1}$ è un isomorfismo.
quindi $\text{exp}(\RR, +)->(\RR^{+},*); log:(\RR^{+},*)->(\RR, +)$ sono isomorfismi.

[Paolo902]

"dissonance":va bene: chiaramente se $phi$ è un isomorfismo anche $\phi^{-1}$ è un isomorfismo.

Ecco, questa non la sapevo. Grazie mille.