Ancora polinomi

[fabiola5]

Consideriamo il polinomio $X^r-1$ in $F_p[X]$ e scomponiamolo nei suoi fattori irriducibili.
$X^r-1=(X-1)f_1(X)...f_l(X)$.
Problema 1:
sapendo per ipotesi che r non divide p-1,posso affermare che l'unica radice di $X^r-1$ in $F_p[X]$ è 1.

Poi ancora:i fattori irriducibili di $(X^r-1)/(X-1)$ in $F_p[X]$ hanno quindi almeno grado 2 e quindi non possono dividere nessun polinomio di grado 1.

Problema 2:
Dunque $X+j$ per $0<=j

Cita

Segnala

---

Risposte

ficus2002

22 ott 2007, 18:44

"fabiola":
Problema 1:
sapendo per ipotesi che r non divide p-1,posso affermare che l'unica radice di $X^r-1$ in $F_p[X]$ è 1.

$f(X):=X^r-1$.
In generale no. Se prendi $r:=2(p-1)$, ogni elemento di $F_p$ è radice di $f$
Basterebbe $r$ primo con $p-1$. Infatti,
Se $a\in ZZ$ è rappresentante di una radice di $f$ in $F_p$, allora $a^r\equiv 1\quad (mod \ p)$. Sia $n$ l'ordine di $a$ in $F_p$. Allora $n$ divide sia $r$ che $p-1$, quindi $n=1$.

Cita

Segnala

---

fabiola5

28 ott 2007, 18:17

Ciao Ficus,
scusami se rispondo solo ora;innanzitutto grazie del tuo intervento, ma volevo chiederti una cosa:il fatto che n deve dividere p-1 lo deduci dal piccolo teorema di fermat, essendo p primo?
grazie ancora

Cita

Segnala

---

Studente Anonimo

28 ott 2007, 20:19

Quindi r non è necessariamente primo in questo caso? (negli altri post, r era primo)

Cita

Segnala

---

ficus2002

28 ott 2007, 21:57

"fabiola":il fatto che n deve dividere p-1 lo deduci dal piccolo teorema di fermat, essendo p primo?

Esattamente.

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[ficus2002]

"fabiola":
Problema 1:
sapendo per ipotesi che r non divide p-1,posso affermare che l'unica radice di $X^r-1$ in $F_p[X]$ è 1.

$f(X):=X^r-1$.
In generale no. Se prendi $r:=2(p-1)$, ogni elemento di $F_p$ è radice di $f$
Basterebbe $r$ primo con $p-1$. Infatti,
Se $a\in ZZ$ è rappresentante di una radice di $f$ in $F_p$, allora $a^r\equiv 1\quad (mod \ p)$. Sia $n$ l'ordine di $a$ in $F_p$. Allora $n$ divide sia $r$ che $p-1$, quindi $n=1$.

[fabiola5]

Ciao Ficus,
scusami se rispondo solo ora;innanzitutto grazie del tuo intervento, ma volevo chiederti una cosa:il fatto che n deve dividere p-1 lo deduci dal piccolo teorema di fermat, essendo p primo?
grazie ancora

[Studente Anonimo]

Quindi r non è necessariamente primo in questo caso? (negli altri post, r era primo)

[ficus2002]

"fabiola":il fatto che n deve dividere p-1 lo deduci dal piccolo teorema di fermat, essendo p primo?

Esattamente.