Ancora moduli proiettivi e sequenze esatte

[mik6]

..continuo coi moduli proiettivi..
Sto leggendo delle dispense di un vecchio corso di algebra e molte cose sono date per scontate..

In questa situazione ho due moduli \(M, N\) con due sottomoduli \(A\subseteq M, B\subseteq N\), t.c. \( M/A\cong N/B\).
Dice poi che se \(M\) è un modulo proiettivo, la sequenza
\(0\to A\to B\oplus M\to N\to 0\) è esatta.
La funzione da \(A\) in \(B\oplus M\) immagino sia semplicemente \(a\mapsto (0,a) \); serve la proiettività per costruire una funzione \( B\oplus M \to N\) con nucleo uguale all'immagine dell'altra?in che modo?
grazie!

[maurer]

Allora... hai un diagramma del tipo

[tex]\xymatrix{
0 \ar[r] & A \ar[r] \ar@{.>}[d]^g & M \ar@{.>}[d]^f \ar[r]^\pi & M/A \ar[d]^{\varphi} \ar[r] & 0 \\
0 \ar[r] & B \ar[r] \ar[d]^{q^\prime} & N \ar[r]^p \ar[d]^q & N / B \ar[r] & 0 \\
& B / \text{Im}(g) \ar[r]^h & N / \text{Im}(f)
}[/tex]

e [tex]\varphi[/tex] è un isomorfismo. Le mappe [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] non sai se esistono. Ma siccome [tex]M[/tex] è proiettivo, puoi liftare [tex]\varphi \circ \pi[/tex] ad [tex]f[/tex] (in modo unico up-to-chain homotopy) ed usare la proprietà universale del nucleo per costruire [tex]g[/tex]. Lo snake lemma allora mostra che [tex]\ker g = \ker f[/tex] e [tex]h \colon \text{coker } g \simeq \text{coker } f[/tex].

Forti di queste informazioni consideriamo [tex]0 \to A \xrightarrow{\alpha} B \oplus M \xrightarrow{\beta} N \to 0[/tex] dove [tex]\alpha(a) = (g(a),-a)[/tex] e [tex]\beta(x,y) = x + f(y)[/tex]. Mostriamo che la successione è esatta: prima di tutto [tex]\beta(\alpha(a)) = \beta(g(a),-a) = g(a) - f(a) = 0[/tex]. Inoltre, se [tex]\beta(x,y) = 0[/tex] avrai [tex]x = f(-y)[/tex], quindi [tex]x \in \text{Im}(f) \cap B[/tex]. Adesso nelle notazioni del diagramma precedente, [tex]h(q^\prime(x)) = q(x) = 0[/tex], quindi siccome [tex]h[/tex] è un isomorfismo segue [tex]q^\prime(x) = 0[/tex], ossia [tex]x \in \text{Im}(g)[/tex]. Pertanto [tex]x = g(t)[/tex] per qualche [tex]t \in A[/tex]. Allora otteniamo [tex]g(t) + f(y) = f(t + y) = 0[/tex], ossia [tex]t + y \in \ker f = \ker g[/tex], da cui [tex]y = -t + u[/tex] dove [tex]u \in \ker g[/tex]. Pertanto [tex]\alpha(t - u) = (g(t - u), - t + u) = (g(t), y) = (x,y)[/tex], ossia la successione è esatta.

In particolare, la mappa [tex]A \to B \oplus M[/tex] non è [tex]a \mapsto (0,a)[/tex].

Ti torna tutto quanto?

P.S. Ma stai studiando un po' di sana e divertente Algebra Omologica?

[mik6]

grazie mille, credo di aver capito come funziona la cosa!

si, da ideali ecc.. la cosa si è trasformata in diagrammi labirintici! devo entrare nella mentalità giusta ma mi piace il tipo di metodi utilizzati nell'argomento!