Ancora gruppi
Rega ho delle domande sparse sui gruppi...Illuminatemi.
1) Parlare di periodo di un elemento ha senso solo se si parla di gruppi ciclici, o esistono elementi tali che $g^k=e $.
2) Il periodo di un come lo studio ad esempio in $ZZ_7$ e $ZZ_6$.
3) $|G|=p$ è ciclico se p è primo se p nn lo è? invece $ZZ_n$ è sempre ciclico?
4) Gli automorfismi su $ZZ_n$ sono tanti quanti $phi(n)$ dove $phi(n)$ è la funzione di Eulero. Perchè questo accade. Mi fate un esempio con $Z_9$ .
$|Aut(ZZ_9)|=6$ perchè 9 è coprimo con 1,2,4,5,7,8.
mi potreste scrivere le corrispondeze biunivoche cortesemente inltre mi dite perchè hanno periodo 6 come l'ordine di $Aut(ZZ_9)$?
Grazie e spero a presto.
1) Parlare di periodo di un elemento ha senso solo se si parla di gruppi ciclici, o esistono elementi tali che $g^k=e $.
2) Il periodo di un come lo studio ad esempio in $ZZ_7$ e $ZZ_6$.
3) $|G|=p$ è ciclico se p è primo se p nn lo è? invece $ZZ_n$ è sempre ciclico?
4) Gli automorfismi su $ZZ_n$ sono tanti quanti $phi(n)$ dove $phi(n)$ è la funzione di Eulero. Perchè questo accade. Mi fate un esempio con $Z_9$ .
$|Aut(ZZ_9)|=6$ perchè 9 è coprimo con 1,2,4,5,7,8.
mi potreste scrivere le corrispondeze biunivoche cortesemente inltre mi dite perchè hanno periodo 6 come l'ordine di $Aut(ZZ_9)$?
Grazie e spero a presto.
Risposte
"squalllionheart":
Rega ho delle domande sparse sui gruppi...Illuminatemi.
1) Parlare di periodo di un elemento ha senso solo se si parla di gruppi ciclici, o esistono elementi tali che $g^k=e $.
2) Il periodo di un come lo studio ad esempio in $ZZ_7$ e $ZZ_6$.
3) $|G|=p$ è ciclico se p è primo se p nn lo è? invece $ZZ_n$ è sempre ciclico?
4) Gli automorfismi su $ZZ_n$ sono tanti quanti $phi(n)$ dove $phi(n)$ è la funzione di Eulero. Perchè questo accade. Mi fate un esempio con $Z_9$ .
$|Aut(ZZ_9)|=6$ perchè 9 è coprimo con 1,2,4,5,7,8.
mi potreste scrivere le corrispondeze biunivoche cortesemente inltre mi dite perchè hanno periodo 6 come l'ordine di $Aut(ZZ_9)$?
Grazie e spero a presto.
Provo a darti delle risposte, ma qualcuno mi corregga in caso, visto che devo ancora fare l'esame di Algebra1 (tra poco
)1) Se in un gruppo $G$ esiste un elemento $ginG$ tale che $g^k=e$ e $k$ è il più piccolo intero per cui questo avviene ( sarà $k=|G|$) allora il gruppo è ciclico, e $g$ è un generatore, ovvero $G=
2) In $(ZZ_6,+)$ (attenzione! l'operazione è l'addizione, perchè in $ZZ_n$ con $n$ NON primo ci sono elementi non invertibili rispetto alla moltiplicazione (che sono tutti quelli NON coprimi con n, qui ad esempio 2 e 3 non sono invertibili rispetto alla moltiplicazione), e quindi non sarebbe un gruppo!) gli elementi avranno ordine $o(g) = $( fai $g + g + ... + g =ng$ per $n$ volte finche non viene $bar0$)$ = n$
Quindi:
$o(0) = 1$
$o(1)=6$ quindi $ZZ_6 = <1>$ (gruppo ciclico generato da $1$)
$o(2)=3$
$o(3)=2$
$o(4)=3$
$o(5)=6$ è un altro generatore.
Anche per $(ZZ_7,+)$ fai la stessa cosa. Comunque tutti i $(ZZ_n,+)$ sono ciclici e sono generati almeno da $bar1$.
Ora però, visto che $7$ è primo, esiste anche il gruppo $(ZZ_7-{0},*)$.
Gli ordini dei vari elementi saranno: $o(g) = $( fai $g * g * ... * g=g^n$ per $n$ volte finche non viene $bar1$)$ = n$
Quindi:
$o(1)=1$
$o(2)=7$
$o(3)=7$
$o(4)=7$
$o(5)=7$
$o(6)=7$
sono tutti generatori, quindi $(ZZ_p-{0},*)$ è sempre ciclico.
3) $(ZZ_n,+) =<1>$ è sempre ciclico. $(ZZ_p-{0},*)$ è sempre ciclico. Se p non è primo non è un gruppo.
Per ora mi fermo qui, per il resto ci penso. Spero di esserti stato utile.
Ciao
Edit: ho corretto le imprecisioni. Ma quindi si può parlare di periodicità anche per i gruppi NON ciclici??
1)nei gruppi infiniti gli elementi hanno ordine infinito.
nei gruppi finiti gli elementi hanno ordine finito,inoltre esso è un divisore dell'ordine del gruppo.
se l'ordine del gruppo è un primo(i numeri che dividono un primo sono 1 e se stesso)tutti gli elementi di esso hanno ordine quel primo,apparte l'identità che ha ordine 1.
2)nei gruppi additivi tipo $z/(6)$ l'ordine degli elementi li trovi facendo kx=0 (mod 6),il minimo k che verifica questo è l'ordine di x.
esempio:x=4 allora 4k=0 (6),mcd tra 4 e 6 è 2,allora divido per 2 e ottengo 2k=0 (3) ovvero k=0(3) dato che 2 e 3 sono primi fra loro.
l'ordine di 4 in $Z/6$ è 3(3 divide 6).
3)un gruppo con ordine finito non primo puo non essere ciclico.
gli $Z/nz$ sono ciclici perchè sottogruppi di Z che è ciclico.
4)per gli automorfismi la faccenda è un pò lunga.
se mi dici che conosci bene il teo degli omomorfismi e sai costruire e definire un omomorfismo provo a spiegartelo.
altrimenti ti consiglio di cercare su internet vedrai che qualcosa trovi.
nei gruppi finiti gli elementi hanno ordine finito,inoltre esso è un divisore dell'ordine del gruppo.
se l'ordine del gruppo è un primo(i numeri che dividono un primo sono 1 e se stesso)tutti gli elementi di esso hanno ordine quel primo,apparte l'identità che ha ordine 1.
2)nei gruppi additivi tipo $z/(6)$ l'ordine degli elementi li trovi facendo kx=0 (mod 6),il minimo k che verifica questo è l'ordine di x.
esempio:x=4 allora 4k=0 (6),mcd tra 4 e 6 è 2,allora divido per 2 e ottengo 2k=0 (3) ovvero k=0(3) dato che 2 e 3 sono primi fra loro.
l'ordine di 4 in $Z/6$ è 3(3 divide 6).
3)un gruppo con ordine finito non primo puo non essere ciclico.
gli $Z/nz$ sono ciclici perchè sottogruppi di Z che è ciclico.
4)per gli automorfismi la faccenda è un pò lunga.
se mi dici che conosci bene il teo degli omomorfismi e sai costruire e definire un omomorfismo provo a spiegartelo.
altrimenti ti consiglio di cercare su internet vedrai che qualcosa trovi.
gigabyte c'è qualche imprecisione.
Z con la moltiplicazione non è un gruppo dato che gli unici elementi invertibili in Z sono 1 e -1.essi infatti hanno ordine 2 perchè il gruppo moltiplicativo è formato da solo quei 2 elementi.
Z/p con la moltipl. non è un gruppo,perchè c'è lo zero che non è invertibile.Z/p-{0} è un gruppo moltiplicativo.
gli Z/n hanno φ(n) generatori ed essi sono gli x coprimi con n.
Z con la moltiplicazione non è un gruppo dato che gli unici elementi invertibili in Z sono 1 e -1.essi infatti hanno ordine 2 perchè il gruppo moltiplicativo è formato da solo quei 2 elementi.
Z/p con la moltipl. non è un gruppo,perchè c'è lo zero che non è invertibile.Z/p-{0} è un gruppo moltiplicativo.
gli Z/n hanno φ(n) generatori ed essi sono gli x coprimi con n.
Ho corretto grazie. Spero che ora sia tutto giusto
se p non è primo l'insieme degli x appartenenti a Z/p e coprimi con p è un gruppo rispetto alla moltiplicazione.
se per periodicità intendi che gli elementi hanno ordine finito allora non puoi parlare di periodicità nei gruppi NON ciclici,poichè se il gruppo non è ciclico non ha senso parlare di ordine e quindi tantomeno di periodicità.
se per periodicità intendi che gli elementi hanno ordine finito allora non puoi parlare di periodicità nei gruppi NON ciclici,poichè se il gruppo non è ciclico non ha senso parlare di ordine e quindi tantomeno di periodicità.
"Ker":
se il gruppo non è ciclico non ha senso parlare di ordine
Non capisco questa affermazione..
ho sbagliato,se il gruppo non è finito.
Beh, ha senso parlare di ordine in un gruppo infinito. Per esempio in $CC-\{0\}$ (gruppo moltiplicativo) l'elemento $i$ ha ordine 4, mentre per esempio l'elemento $2 $ ha ordine infinito.
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