Anagrammi
Salve a tutti, avrei il seguente esercizio da proporre.
Devo contare quanti sono gli anagrammi che si possono formare con le lettere $\{M,A,T,E,M,A,T,I,C,A\}$ che contengano almeno una stringa del tipo ATA, AMA o ATI.
Per contarle basterebbe applicare il principio di inclusione-esclusione:
per gli anagrammi che contengono ATI si hanno sono $((7),(2))$ modi di inserire le A, conseguentemente $((5),(2))$ modi di inserire le M, le 5! permutazioni dei restanti e infine gli 8 modi di inserire ATI quindi $\frac{8!}{2!2!}$
Per ATA ho $((7),(2))$ modi per le M, 5! per le restanti, 8 modi per inserire ATA e poi dovrei togliere quelle che contengono ATATA perchè altrimenti le conterei 2 volte (è giusto???) queste sono $((5),(2))$ per le M, 3! permutazioni delle altre e 6 modi di inserire ATATA quindi per ATA ho $\frac{8!}{2!}-\frac{6!}{2!}$ (giusto???). Le M sono quante le T per cui per AMA stesso discorso.
Ora le possibili intersezioni sono solo tra ATA e ATI e tra AMA e ATI. Per ATA e ATI ho $((4),(2))$ le M, 2! per CE, e poi devo inserire ATA e AMI in 5 posti quindi serve un altro $5*4$ in totale $5*4*\frac{4!}{2!}$. Per AMA e ATI ho 4! per CEMT e $5*4$ per AMA e ATI quindi $5*4*4!$. Le intersezioni ulteriori non sono possibili. In conclusione tale numero è
$2*(\frac{8!}{2!}-\frac{6!}{2!})+\frac{8!}{2!2!}-5*4*\frac{4!}{2!}-*5*4*4!$
é corretto??
Devo contare quanti sono gli anagrammi che si possono formare con le lettere $\{M,A,T,E,M,A,T,I,C,A\}$ che contengano almeno una stringa del tipo ATA, AMA o ATI.
Per contarle basterebbe applicare il principio di inclusione-esclusione:
per gli anagrammi che contengono ATI si hanno sono $((7),(2))$ modi di inserire le A, conseguentemente $((5),(2))$ modi di inserire le M, le 5! permutazioni dei restanti e infine gli 8 modi di inserire ATI quindi $\frac{8!}{2!2!}$
Per ATA ho $((7),(2))$ modi per le M, 5! per le restanti, 8 modi per inserire ATA e poi dovrei togliere quelle che contengono ATATA perchè altrimenti le conterei 2 volte (è giusto???) queste sono $((5),(2))$ per le M, 3! permutazioni delle altre e 6 modi di inserire ATATA quindi per ATA ho $\frac{8!}{2!}-\frac{6!}{2!}$ (giusto???). Le M sono quante le T per cui per AMA stesso discorso.
Ora le possibili intersezioni sono solo tra ATA e ATI e tra AMA e ATI. Per ATA e ATI ho $((4),(2))$ le M, 2! per CE, e poi devo inserire ATA e AMI in 5 posti quindi serve un altro $5*4$ in totale $5*4*\frac{4!}{2!}$. Per AMA e ATI ho 4! per CEMT e $5*4$ per AMA e ATI quindi $5*4*4!$. Le intersezioni ulteriori non sono possibili. In conclusione tale numero è
$2*(\frac{8!}{2!}-\frac{6!}{2!})+\frac{8!}{2!2!}-5*4*\frac{4!}{2!}-*5*4*4!$
é corretto??
Risposte
a me viene leggermente diverso. il punto centrale è che le intersezioni di tutti e tre sono possibili.
per essere un po' più chiaro farò così: scrivo la stringa, dico quante volte l'ho contata, preceduta dal segno che dobbiamo considerare per le varie intersezioni:
gli insiemi da soli:
ATI $+2*7!$
ATA $+4*7! -3*5!$
AMA $+4*7! -3*5!$
meno le intersezioni fra gli insiemi a due a due:
ATIATA $-5/2*4!$ ATATI $-3*5!$
ATAMA $-6*5!$ AMATA $-6*5!$
AMATI $-6*5!$ ATIAMA $-5*4!$
più le intersezioni fra tutti e tre:
ATAMATI $+4*3!$ AMATATI $+4*3!$
cosa ne pensi?
per essere un po' più chiaro farò così: scrivo la stringa, dico quante volte l'ho contata, preceduta dal segno che dobbiamo considerare per le varie intersezioni:
gli insiemi da soli:
ATI $+2*7!$
ATA $+4*7! -3*5!$
AMA $+4*7! -3*5!$
meno le intersezioni fra gli insiemi a due a due:
ATIATA $-5/2*4!$ ATATI $-3*5!$
ATAMA $-6*5!$ AMATA $-6*5!$
AMATI $-6*5!$ ATIAMA $-5*4!$
più le intersezioni fra tutti e tre:
ATAMATI $+4*3!$ AMATATI $+4*3!$
cosa ne pensi?
Hai ragione nella storia delle intersezioni..ci sono però alcuni prooblemi di conto e di ragionamento.
1)per esempio come conti ATI: le lettere che ti restano sono AACEMMT quindi le puoi "anagrammare" in $((7),(2))((5),(2))3! =\frac{7!}{2!2!}$ modi e poi inserisci in 8 modi ATI. Ragionamento simile per le altre
2) Il problema di AMA (o ATA ) sta che se prendi AMAMA la puoi vedere sia come (AMA)MA che come AM(AMA) quindi staresti contando due volte lo stesso anagramma. Devi perciò sottrarre uno dei "due modi".
1)per esempio come conti ATI: le lettere che ti restano sono AACEMMT quindi le puoi "anagrammare" in $((7),(2))((5),(2))3! =\frac{7!}{2!2!}$ modi e poi inserisci in 8 modi ATI. Ragionamento simile per le altre
2) Il problema di AMA (o ATA ) sta che se prendi AMAMA la puoi vedere sia come (AMA)MA che come AM(AMA) quindi staresti contando due volte lo stesso anagramma. Devi perciò sottrarre uno dei "due modi".
ho fatto entrambe le cose.
come puoi facilmente notare, $2*(7!)=8*(7!)/(2!*2!)$ ti pare?
diciamo lo stesso numero, espresso in due modi diversi.
nell' altro caso, ad esempio AMAMA: ho considerato i fatti che hai detto, infatti da $4*7!$ tolgo le stringhe "doppie" che hai indicato tu facendo $-3*5!$
come puoi facilmente notare, $2*(7!)=8*(7!)/(2!*2!)$ ti pare?
diciamo lo stesso numero, espresso in due modi diversi.
nell' altro caso, ad esempio AMAMA: ho considerato i fatti che hai detto, infatti da $4*7!$ tolgo le stringhe "doppie" che hai indicato tu facendo $-3*5!$
oh yesss!!grazie!
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