Altra estensione di Galois: sottocampi.

[dariuz89]

Ho un altro dubbio su un'estensione di campi. In un esercizio devo trovare i sottocampi di grado 6 di un'estensione di grado 12. Insomma, devo trovare sottogruppi del gruppo di Galois di ordine 2. Senza stare a illustrare tutto l'esercizio, mi è sorto un dubbio. Detta [tex]\zeta[/tex] la radice terza dell'unità, dovrei avere [tex]\mathbb Q(\sqrt{6})(1,\sqrt[3]{5^2}\zeta, \sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{5}\zeta)=\mathbb Q(\sqrt{6})(\sqrt[3]{5}\zeta)[/tex], ma non capisco il motivo... Analogamente, non capisco perchè [tex]\mathbb Q(\sqrt[3]{5})(2\sqrt{6}\zeta+\sqrt{6})[/tex] debba essere uguale a [tex]\mathbb Q(\sqrt[3]{5})(\sqrt{6})[/tex].

[j18eos]

A parte che [tex]$\zeta$[/tex] è una radice terza dell'unità, almenoche tu non specifichi quale!

Potrebbero aiutarti le seguenti considerazioni aritmetiche: [tex]$\sqrt[3]{5}\zeta+\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{5}(1+\zeta);\,2\sqrt{6}\zeta+\sqrt{6}=\sqrt{6}(2+\zeta)$[/tex].

[dariuz89]

Si, è una, ma io intendevo dire che è la radice terza primitiva dell'unità, dunque [tex]\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Comunque ti ringrazio, mi hai delucidato

[j18eos]

L'avevo supposto che fosse la "primitiva", la maggior parte delle volte che mi è capitata di vederla l'ho trovata indica con [tex]$\omega_3$[/tex]!