Algebra1:dubbi esercizi su gruppi
Allora ieri ho fatto l'esame di algebra1,ho un paio di dubbi su alcuni esercizi che spero m ipossiate rendere più chiari....
1)un punto del primo esercizio mi chiedeva di trovare un sottogruppo di $ sum <8> $ non ciclico e che avesse 6 elementi.
Io ho messo $ sum <3> $ motivando la risposta e dimostrando che era un sottogruppo e non ciclico...
2)Un esercizio mi diceva di descrivere un gruppo non abeliano in cui tutti i sottogruppi siano normal....e quà sono cascata
3)MI dà un insieme $G={f:ZZ rarr ZZ }$ mi chiedeva di dimostrare che è un gruppo con l'operazione di somma.POi mi chiedeva se dato $H={ in |f(0)=0 }$ devo provare che è un sottogruppo normale e che $ G/H \simeq < ZZ > $ (isomorfo)....di qiuesto ho dimostrato che era un sottogruppo normale ma come dimostro che è somorfo a $ZZ$?
1)un punto del primo esercizio mi chiedeva di trovare un sottogruppo di $ sum <8> $ non ciclico e che avesse 6 elementi.
Io ho messo $ sum <3> $ motivando la risposta e dimostrando che era un sottogruppo e non ciclico...
2)Un esercizio mi diceva di descrivere un gruppo non abeliano in cui tutti i sottogruppi siano normal....e quà sono cascata
3)MI dà un insieme $G={f:ZZ rarr ZZ }$ mi chiedeva di dimostrare che è un gruppo con l'operazione di somma.POi mi chiedeva se dato $H={
Risposte
Il primo punto non l'ho capito. Cosa vuol dire $sum <8>$. E' il gruppo ciclico generato da $8$ dove in $ZZ$ in qualche $ZZ_n$?
E poi scusami $<3>$ è ciclico per costruzione? Perchè non dovrebbe esserlo?
Per il punto due potevi ricordarti dei quaternioni ad esempio.
3) Potresti cercare esplicitamente un isomorfismo. Oppure provando che è un gruppo abeliano ciclico
E poi scusami $<3>$ è ciclico per costruzione? Perchè non dovrebbe esserlo?
Per il punto due potevi ricordarti dei quaternioni ad esempio.
3) Potresti cercare esplicitamente un isomorfismo. Oppure provando che è un gruppo abeliano ciclico
Allora intendevo le permutazioni di 8 elementi,e il suo sottogruppo le permutazioni di 3 elementi...dovevo scrivere meglio...
2)NOoooooooooooooooooooooo....lo volevo scrivere ma mi sono detta che sbagliavo perchè i quaternioni è un gruppo abeliano?!
3)non ci riuscirò mai a capirlo...come faccio a trovare esplicitamente un isomorfismo?
un' altra domanda se possibili:quali sono gli elementi non invertibili di $ ZZ /(16 ZZ )$ ?Io sapendo che gli invertibili sono gli elementi primi con 16,allora ho messo ke i nn invertibili erano quelli che dividevano 16?é giusto?Se si ma perchè?
2)NOoooooooooooooooooooooo....lo volevo scrivere ma mi sono detta che sbagliavo perchè i quaternioni è un gruppo abeliano?!
3)non ci riuscirò mai a capirlo...come faccio a trovare esplicitamente un isomorfismo?
un' altra domanda se possibili:quali sono gli elementi non invertibili di $ ZZ /(16 ZZ )$ ?Io sapendo che gli invertibili sono gli elementi primi con 16,allora ho messo ke i nn invertibili erano quelli che dividevano 16?é giusto?Se si ma perchè?
gli elementi non invertibili di [tex]\mathbb{Z}_{16}[/tex] sono gli [tex]\bar{a}[/tex] tali che [tex]mcd(a,16) \neq 1[/tex].
a parte che dire i "divisori di 16" non è formalmente corretto, poi ti perdi [tex]\bar{10},\bar{12},\bar{14}[/tex]
poi scusa sei tu che dovresti dirci il perché di ciò che affermi.
a parte che dire i "divisori di 16" non è formalmente corretto, poi ti perdi [tex]\bar{10},\bar{12},\bar{14}[/tex]
poi scusa sei tu che dovresti dirci il perché di ciò che affermi.
[mod="Martino"]samlu, per favore inserisci un titolo che specifichi l'argomento (cf. il regolamento). Clicca su "modifica" nel tuo intervento. Grazie.[/mod]
I quaternioni sono un gruppo di otto elementi non abeliano. Ma i sottogruppi di $4$ elementi sono abeliani ed avendo indice $2$ normali.
Per il punto $3$ potresti provare a considerare l'applicazione $phi_0 : G -> ZZ$ tale che $AA f in G$ $phi_0(f)=f(0)$, in tal caso il nucleo è $H$. Però è un'idea che m'è venuta ora, controlla perché potrebbe essere sbagliata.
Il punto 1 lo vediamo dopo!
Per il punto $3$ potresti provare a considerare l'applicazione $phi_0 : G -> ZZ$ tale che $AA f in G$ $phi_0(f)=f(0)$, in tal caso il nucleo è $H$. Però è un'idea che m'è venuta ora, controlla perché potrebbe essere sbagliata.
Il punto 1 lo vediamo dopo!
Mamma mia non mi convinco del fatto che i quaternioni sia un gruppo non abeliano...questo perchè sul libro mi dice:$Q8={ bar (1),bar(-1),bar(i),bar(-i),bar(j),bar(-j),bar(k),bar(-k)} $ e che $-1=i^2=j^2=,k^2=i*j*k,j*k*i=k*i*j$;
@blackbishop13
ma io sono arrivata alla conclusione per esclusione...sapendo che gli invertibili di $U( ZZ /16 ZZ) ={[ bar(a)in (ZZ /(16 ZZ )) | bar(0) <= bar(a) <= bar(15) ,(bar(a),bar(16))=1}$...quindi ho preso quelli che hanno $M.C.D!=1$...ma non credo sia valido come ragionamento..
@blackbishop13
ma io sono arrivata alla conclusione per esclusione...sapendo che gli invertibili di $U( ZZ /16 ZZ) ={[ bar(a)in (ZZ /(16 ZZ )) | bar(0) <= bar(a) <= bar(15) ,(bar(a),bar(16))=1}$...quindi ho preso quelli che hanno $M.C.D!=1$...ma non credo sia valido come ragionamento..
Allora conosci la regola di moltiplicazione in $Q$? $ij=k$, $ji=-k$. Quindi...
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