ALGEBRA - Trovare Radici di un polinomio
Ciao a tutti,
Come da post, dovrei trovare le radici di un polinomio in 3 spazi diversi
a) $x^4-25 in R[x]$
b) $x^4-25 in Q[x]$
c) $x^4-25 in Z3[x]$
Una radice di a è ovviamente $sqrt(5)$ ma mi chiedevo, è l'unica?
Come faccio a trovare quelle di b e di c?
Se vado "a tentativi" le trovo ma come faccio a sapere se sono tutte?
In particolare l'esercizio richiede di scrivere i polinomi come prodotti di fattori irriducibili.
Grazie mille !
Mario
Come da post, dovrei trovare le radici di un polinomio in 3 spazi diversi
a) $x^4-25 in R[x]$
b) $x^4-25 in Q[x]$
c) $x^4-25 in Z3[x]$
Una radice di a è ovviamente $sqrt(5)$ ma mi chiedevo, è l'unica?
Come faccio a trovare quelle di b e di c?
Se vado "a tentativi" le trovo ma come faccio a sapere se sono tutte?
In particolare l'esercizio richiede di scrivere i polinomi come prodotti di fattori irriducibili.
Grazie mille !
Mario
Risposte
In $RR$ ottieni il seguente:
$x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5) = (x + \sqrt(5))(x - \sqrt(5))(x^2 + 5)$
Nessuna delle radici del polinomio appartiene ai numeri razionali e quindi il polinomio è irriducibile in $QQ[x]$. Il polinomio non appartiene a $ZZ_3[X]$ e quindi non credo abbia senso discutere questo caso.
$x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5) = (x + \sqrt(5))(x - \sqrt(5))(x^2 + 5)$
Nessuna delle radici del polinomio appartiene ai numeri razionali e quindi il polinomio è irriducibile in $QQ[x]$. Il polinomio non appartiene a $ZZ_3[X]$ e quindi non credo abbia senso discutere questo caso.
"apatriarca":
In $RR$ ottieni il seguente:
$x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5) = (x + \sqrt(5))(x - \sqrt(5))(x^2 + 5)$
Nessuna delle radici del polinomio appartiene ai numeri razionali e quindi il polinomio è irriducibile in $QQ[x]$. Il polinomio non appartiene a $ZZ_3[X]$ e quindi non credo abbia senso discutere questo caso.
Si scusa per il polinomio c intendevo ovviamente $x^4-[25] ∈ ZZ_3[X]$
che credo corrisponda a $x^4-[1] ∈ ZZ_3[X]$
in che senso il polinomio non appartiene a $Z3[x]$? Certo che ci appartiene,semplcemente perchè $25-=1 mod3$ e quindi il polinomio è identico al polinomio$x^4-1$ con coefficienti in $Z3$. Che si scompone come $(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$. Ora devi vedere se $x^2+1$ ha radici,ovvero se esiste un $x inZ3$ tale che il suo quadrato sia congruo a meno uno modulo tre.e queso è appastanza semplice da verificare.
La classe di equivalenza di $25$ appartiene a $ZZ_3$, ma $25$ no. Quindi quel polinomio non è un polinomio con coefficienti in $ZZ_3$. Il procedimento in questo caso era comunque del tutto identico a quello nel caso reale.
"apatriarca":
In $RR$ ottieni il seguente:
$x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5) = (x + \sqrt(5))(x - \sqrt(5))(x^2 + 5)$
Nessuna delle radici del polinomio appartiene ai numeri razionali e quindi il polinomio è irriducibile in $QQ[x]$.
Sbagliato, $f(x)=(x^2-5)(x^2+5)$, come tu stesso hai detto, che è una fattorizzazione in $QQ[x]$
"apatriarca":
la classe di equivalenza di $25$ appartiene a $ZZ_3$, ma $25$ no
sofismi da logico formale a parte (
)..
"alvinlee88":
[quote="apatriarca"]In $RR$ ottieni il seguente:
$x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5) = (x + \sqrt(5))(x - \sqrt(5))(x^2 + 5)$
Nessuna delle radici del polinomio appartiene ai numeri razionali e quindi il polinomio è irriducibile in $QQ[x]$.
Sbagliato, $f(x)=(x^2-5)(x^2+5)$, come tu stesso hai detto, che è una fattorizzazione in $QQ[x]$[/quote]
Già, volevo semplicemente dire che non c'erano radici in $QQ$.
Ovviamente la fattorizzazione che avevo scritto era valida anche in $QQ[x]$.
In $Z3$ $(x-1)(x+1)(x^2+1)=(x+2)(x+1)(x^2+1)$...le radici in $Z3$ sono quindi $x=1$ e $x=2$ perchè annullano rispettivamente il primo e il secondo fattore. Il terzo fattore invece non si annulla mai.
"apatriarca":
In $RR$ ottieni il seguente:
$x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5) = (x + \sqrt(5))(x - \sqrt(5))(x^2 + 5)$
Nessuna delle radici del polinomio appartiene ai numeri razionali e quindi il polinomio è irriducibile in $QQ[x]$. Il polinomio non appartiene a $ZZ_3[X]$ e quindi non credo abbia senso discutere questo caso.
Si,hai ragione dire che la classe di equivalenza di 25 è la classe dell'1,ma è sbagliato dire che non ha senso discutere il caso,perchè la fattorizzazione in $Z_3[x]$ esiste ed è quella postata sopra! Perchè si parla di polinomi a coefficienti in $Z_3$ e $[25]_3-=[1]_3$. Forse intendevamo due cose diverse.
Ok grazie mille in $RR[x] $ ed in $ZZ_3[x]$ li ho scomposti im polinomi irriducibili senza prob.
Non ho capito però il discorso in $QQ[x]$
Se non ammette radici, questo nn implica che è irriducibile?
Non ho capito però il discorso in $QQ[x]$
Se non ammette radici, questo nn implica che è irriducibile?
"Marshal87":
Se non ammette radici, questo nn implica che è irriducibile?
No, non lo implica.
La fattorizzazione ribadita da alvinlee ne è la prova.
Altro caso famoso (se non erro, la formula di Sophie Germain).
$x^4+1=(x^2+1-sqrt2x)(x^2+1+sqrt2x)$
fattorizzabile in $RR$ benché non abbia radici in $RR$ stesso.
questo puoi dirlo fino a polinomi di terzo grado.Perchè ovviamente,se fosse riducibile,si dovrebbe scomporre come un polinomio di primo grado(che ammette radici) e un fattore di secondo grado(del quale a priori non sai niente). Per gradi superiori al terzo l'implicazione che hai detto tu non è più valida.Ricorda che irriducibile vuoll dire che,ogni volta che se può fattorizzare come prodotto di due fattori,uno dei due risulta essere invertibile(quindi nel caso di Q[x],risulta essere una costante). Quindi per esempio $x^4+1$ sebbene non abbia radici,è riducibile in $R[x]$ (come tutti i polinomi di grado superiore al secondo). Infatti $x^4+1=(x^2+sqrt2x+1)(x^2-sqrt2x+1)$. Nel tuo caso infatti puoi dire che $x^2+1$ visto che non ha radici,implica che è irriducibile.
Una curiosità: ogni polinomio di grado $>2$ è riducibile in $RR[X]$.
Per i polinomi di grado dispari questo segue facilmente da qualche teorema di analisi (basta considerare i limiti all'infinito e usare il teorema degli zeri). Per quanto riguarda i polinomi di grado pari basta scriverli come $prod_i (x-a_i)(x-bar(a_i))$.
Per i polinomi di grado dispari questo segue facilmente da qualche teorema di analisi (basta considerare i limiti all'infinito e usare il teorema degli zeri). Per quanto riguarda i polinomi di grado pari basta scriverli come $prod_i (x-a_i)(x-bar(a_i))$.
Solo in alcuni casi... Per il teorema di Ruffini se un polinomio ha radici allora è riducibile; il viceversa è in generale falso (ad esempio $x^4+5x^2+6=(x^2+2)(x^2+3)$ è riducibile in $RR[x]$, ma non ha radici). Il viceversa, in particolare, vale solamente se l'equazione è di secondo o di terzo grado...
Come detto da Martino. Solo che io preferisco la dimostrazione algebrica del fatto che ogni polinomio di grado dispari ammette almeno una radice (quella basata sul teorema fondamentale dell'Algebra)...
"maurer":
Come detto da Martino. Solo che io preferisco la dimostrazione algebrica del fatto che ogni polinomio di grado dispari ammette almeno una radice (quella basata sul teorema fondamentale dell'Algebra)...
Anch'io preferisco quello, ma la cosa curiosa è che non conosco dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che non facciano uso del fatto che un polinomio reale di grado dispari ammette radici reali. Quindi dal mio punto di vista bisogna essere capaci di dimostrare questo fatto senza usare il teorema fondamentale dell'algebra, e l'unico metodo che conosco è basato sui risultati di analisi a cui ho accennato nell'intervento precedente.
Invece dimostrare che i polinomi di grado pari maggiore di 2 sono riducibili in $RR[X]$ senza usare il teorema fondamentale dell'algebra ho paura che sia più o meno equivalente a dimostrare tale teorema.
Eccomi qui con un nuovo esercizio che proprio nn riesco a risolvere
Devo decomporre $x^4+x^2+1 in RR[x]$ nel prodotto di fattori irriducibili.
Poi mi chiede .. ammette radici? E' irriducibile?
Secondo il teorema fondamentale dell'algebra, credo sia riducibile ma nn riesco a trovare le radici.
Ma se non ha radici, questo non implica che non è riducibile?
Grazie
Devo decomporre $x^4+x^2+1 in RR[x]$ nel prodotto di fattori irriducibili.
Poi mi chiede .. ammette radici? E' irriducibile?
Secondo il teorema fondamentale dell'algebra, credo sia riducibile ma nn riesco a trovare le radici.
Ma se non ha radici, questo non implica che non è riducibile?
Grazie
"Mashal87":
Ma se non ha radici, questo non implica che non è riducibile?
No, ho già riportato un controesempio
$x^4+5x^2+6=(x^2+2)(x^2+3)$ è riducibile in $RR[x]$, ma non ha radici...
Per quanto riguarda $x^4+x^2+1$ osserva che è una biquadratica; con la sostituzione $x^2=t$ trovi che $t_(1,2)=(-1+-i*sqrt(3))/2=-1/2+-sqrt(3)/2 i$ sono due soluzioni complesse. A quel punto trova le due radici quadrate di $t_1$ e $t_2$ in $CC$ ed avrai la tua scomposizione in $CC[x]$. Moltiplicando tra loro i fattori che contengono i numeri complessi coniugati tra loro, otterrai la fattorizzazione in $RR[x]$.
Per quanto riguarda $x^4+x^2+1$ osserva che è una biquadratica; con la sostituzione $x^2=t$ trovi che $t_(1,2)=(-1+-i*sqrt(3))/2=-1/2+-sqrt(3)/2 i$ sono due soluzioni complesse. A quel punto trova le due radici quadrate di $t_1$ e $t_2$ in $CC$ ed avrai la tua scomposizione in $CC[x]$. Moltiplicando tra loro i fattori che contengono i numeri complessi coniugati tra loro, otterrai la fattorizzazione in $RR[x]$.[/quote]
Umh...capisco anche se per me è na cosa davvero difficile
Ma ad esempio allora un polinomio $x^2+2x+4 in ZZ_7[x]$ come vedo se è irriducibile?
E comunque in generale come so se un polinomio è irriducibile in$ZZ_m[x]$ ?
Grazie !
Umh...capisco anche se per me è na cosa davvero difficile
Ma ad esempio allora un polinomio $x^2+2x+4 in ZZ_7[x]$ come vedo se è irriducibile?
E comunque in generale come so se un polinomio è irriducibile in$ZZ_m[x]$ ?
Grazie !
"Marshal87":
Eccomi qui con un nuovo esercizio che proprio nn riesco a risolvere
Devo decomporre $x^4+x^2+1 in RR[x]$ nel prodotto di fattori irriducibili.
Poi mi chiede .. ammette radici? E' irriducibile?
Secondo il teorema fondamentale dell'algebra, credo sia riducibile ma nn riesco a trovare le radici.
Ma se non ha radici, questo non implica che non è riducibile?
Grazie
$x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-(x)^2=(x^2+x+1)*(x^2-x+1)$
non so se ti è utile, se è quello che cercavi. comunque così puoi anche cercare più agevolmente le radici complesse.
ciao.
"adaBTTLS":
$x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-(x)^2=(x^2+x+1)*(x^2-x+1)$
non so se ti è utile, se è quello che cercavi. comunque così puoi anche cercare più agevolmente le radici complesse.
ciao.
Umh grazie adesso è più chiaro
E se voglio decompore $x^3+2x^2+4x+8 in RR[x]$?
In realtà ho trovato che una radice è -2 ma sempre per tentativi.
Esiste una regola generale per trovare le radici?
Grazie
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