ALGEBRA - Trovare Radici di un polinomio
Ciao a tutti,
Come da post, dovrei trovare le radici di un polinomio in 3 spazi diversi
a) $x^4-25 in R[x]$
b) $x^4-25 in Q[x]$
c) $x^4-25 in Z3[x]$
Una radice di a è ovviamente $sqrt(5)$ ma mi chiedevo, è l'unica?
Come faccio a trovare quelle di b e di c?
Se vado "a tentativi" le trovo ma come faccio a sapere se sono tutte?
In particolare l'esercizio richiede di scrivere i polinomi come prodotti di fattori irriducibili.
Grazie mille !
Mario
Come da post, dovrei trovare le radici di un polinomio in 3 spazi diversi
a) $x^4-25 in R[x]$
b) $x^4-25 in Q[x]$
c) $x^4-25 in Z3[x]$
Una radice di a è ovviamente $sqrt(5)$ ma mi chiedevo, è l'unica?
Come faccio a trovare quelle di b e di c?
Se vado "a tentativi" le trovo ma come faccio a sapere se sono tutte?
In particolare l'esercizio richiede di scrivere i polinomi come prodotti di fattori irriducibili.
Grazie mille !
Mario
Risposte
prego.
le radici razionali si trovano per tentativi, ma non a caso: vedi teorema del resto o teorema di Ruffini.
per quelle irrazionali non sempre c'è una risposta, basta pensare che spesso si ricorre all'analisi numerica per trovarle in maniera approssimata...
ciao.
le radici razionali si trovano per tentativi, ma non a caso: vedi teorema del resto o teorema di Ruffini.
per quelle irrazionali non sempre c'è una risposta, basta pensare che spesso si ricorre all'analisi numerica per trovarle in maniera approssimata...
ciao.
"adaBTTLS":
prego.
le radici razionali si trovano per tentativi, ma non a caso: vedi teorema del resto o teorema di Ruffini.
per quelle irrazionali non sempre c'è una risposta, basta pensare che spesso si ricorre all'analisi numerica per trovarle in maniera approssimata...
ciao.
Si ovviamente io non tentavo "a casaccio" ma basandomi soprattutto sul teorema di ruffini
Pensavo che procedere così fosse sbgagliato soprattutto perchè mi capita di trovare difficoltà nell'individuare radici in $ ZZ_m[x]$
Cmq grazie di tutto davvero, ciao!
Cioè ad esempio io in $3x^3+5x^2+2x+1 in ZZ_7[x]$ ho trovato tre radici ovvero 2,3,5
Adesso, so che $x-5,x-3,x-2$ dividono il polinomio. Quindi visto che l'esercizio richiede di scrivere f come prodotto di fattori irriducibili, perchè non mi trovo se faccio $ f = (x+2)(x+4)(x+5)$ ?
Grazie
Adesso, so che $x-5,x-3,x-2$ dividono il polinomio. Quindi visto che l'esercizio richiede di scrivere f come prodotto di fattori irriducibili, perchè non mi trovo se faccio $ f = (x+2)(x+4)(x+5)$ ?
Grazie
In teoria trovi un polinomio con i coefficienti equivalenti (mod $7$) dei coefficienti che hai tu.
"Lord K":
In teoria trovi un polinomio con i coefficienti equivalenti (mod $7$) dei coefficienti che hai tu.
Ma in pratica mi trovo $(x+2)(x+4)(x+5) = x^3+4x^2+3x+5$
@Marshal87
Il procedimento che hai seguito è giustissimo. Ti sei semplicemente dimenticato del coefficiente davanti a $x^3$; il polinomio che trovi svolgendo le moltiplicazioni è associato a quello di partenza; li distingue la costante $3$. Detto in altre parole, se moltiplichi per $3$ il polinomio (e riduci i coefficienti mod 7) trovi il polinomio di partenza.
Ad esempio se vuoi scomporre in $RR[x]$ $4x^2+4x+1$ senza usare i prodotti notevoli, ti trovi le radici: $x=-1/2$ con molteplicità doppia. Questo non significa che sia $4x^2+4x+1=(x+1/2)^2$; la relazione precedente è infatti falsa. Prima devi raccogliere il coefficiente davanti al termine di grado massimo. Ottieni (questa volta correttamente): $4x^2+4x+1=4(x^4+x+1/4)=4(x+1/2)^2=(2x+1)^2$
Il procedimento che hai seguito è giustissimo. Ti sei semplicemente dimenticato del coefficiente davanti a $x^3$; il polinomio che trovi svolgendo le moltiplicazioni è associato a quello di partenza; li distingue la costante $3$. Detto in altre parole, se moltiplichi per $3$ il polinomio (e riduci i coefficienti mod 7) trovi il polinomio di partenza.
Ad esempio se vuoi scomporre in $RR[x]$ $4x^2+4x+1$ senza usare i prodotti notevoli, ti trovi le radici: $x=-1/2$ con molteplicità doppia. Questo non significa che sia $4x^2+4x+1=(x+1/2)^2$; la relazione precedente è infatti falsa. Prima devi raccogliere il coefficiente davanti al termine di grado massimo. Ottieni (questa volta correttamente): $4x^2+4x+1=4(x^4+x+1/4)=4(x+1/2)^2=(2x+1)^2$
"maurer":
@Marshal87
Il procedimento che hai seguito è giustissimo. Ti sei semplicemente dimenticato del coefficiente davanti a $x^3$; il polinomio che trovi svolgendo le moltiplicazioni è associato a quello di partenza; li distingue la costante $3$. Detto in altre parole, se moltiplichi per $3$ il polinomio (e riduci i coefficienti mod 7) trovi il polinomio di partenza.
Ad esempio se vuoi scomporre in $RR[x]$ $4x^2+4x+1$ senza usare i prodotti notevoli, ti trovi le radici: $x=-1/2$ con molteplicità doppia. Questo non significa che sia $4x^2+4x+1=(x+1/2)^2$; la relazione precedente è infatti falsa. Prima devi raccogliere il coefficiente davanti al termine di grado massimo. Ottieni (questa volta correttamente): $4x^2+4x+1=4(x^4+x+1/4)=4(x+1/2)^2=(2x+1)^2$
Umh...e se non sbaglio tutti i polinomi associati si trovano nella stessa classe di equivalenza, quindi i due polinomi sono equivalenti...giusto?
Nella classe di equivalenza... rispetto a che cosa?
L'unica cosa che mi viene in mente è l'equivalenza modulo un polinomio, ma in quel caso non direi che un polinomio è sempre in relazione d'equivalenza con un polinomio a lui associato: ad esempio in $RR[x]/(x^2+1)$ $x$ e $2x$ sono associati (perché differiscono di una costante), ma non sono la stessa classe d'equivalenza!
D'altra parte gli elementi associati tra di loro hanno in sostanza le stesse proprietà: ad esempio l'MCD (di polinomi, ma anche di numeri o più in generale definito tra elementi di un anello) è definito a meno di elementi associati. Questo perché se ad esempio $a=MCD(b,c)$ allora ogni elemento associato ad $a$ godrà di questa proprietà...
L'unica cosa che mi viene in mente è l'equivalenza modulo un polinomio, ma in quel caso non direi che un polinomio è sempre in relazione d'equivalenza con un polinomio a lui associato: ad esempio in $RR[x]/(x^2+1)$ $x$ e $2x$ sono associati (perché differiscono di una costante), ma non sono la stessa classe d'equivalenza!
D'altra parte gli elementi associati tra di loro hanno in sostanza le stesse proprietà: ad esempio l'MCD (di polinomi, ma anche di numeri o più in generale definito tra elementi di un anello) è definito a meno di elementi associati. Questo perché se ad esempio $a=MCD(b,c)$ allora ogni elemento associato ad $a$ godrà di questa proprietà...
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