Algebra: soluzioni di un sistema con parametro.. aiutoo
Ragazzi ho bisogno di aiuto.. e da piu di un mese che sbatto la testa sulle matrici con parametro e ancora non ci ho capito gran che, ci sarebbe qualche anima buona che mi spieghi come si risolvono? so che devo utilizzare il calcolo del determinante ma mi trovo esercizi davanti tipo questo:
kx + y + z = k
x + ky– kz = 1
x – y + 2z = 1
e mi chiede di risolvere e discutere il sistema al variare del parametro K.
io ho preso la matrice dei coefficienti e ho trovato il determinante ke a me risulta: 3k^2-2k-3=0 e mi sembra davvero strano perchè poi mi esce una radice di 40
.. di sicuro sbaglio qualcosa.. qualcuno mi aiuti.. grazie anticipatamente
kx + y + z = k
x + ky– kz = 1
x – y + 2z = 1
e mi chiede di risolvere e discutere il sistema al variare del parametro K.
io ho preso la matrice dei coefficienti e ho trovato il determinante ke a me risulta: 3k^2-2k-3=0 e mi sembra davvero strano perchè poi mi esce una radice di 40
.. di sicuro sbaglio qualcosa.. qualcuno mi aiuti.. grazie anticipatamente
Risposte
Si, intanto prima di studiare l'insieme delle soluzioni, assicurati con il teorema di Rouchè-Capelli che il sistema sia compatibile a seconda del valore del parametro. Quindi studiati la matrice completa e quella incompleta. Inizia a fare questo poi continuiamo.
e come faccio a considerare dei valori per il parametro?
allora funziona così, ti prendi la matrice completa, ovvero la matrice con i coefficienti delle incognite, senza considerare i termini noti e vedi che dovrebbe uscirti una matrice 3x3. Ti trovi il determinante col il metodo di laplace o con Sarrus, e vedi che ti dovrebbe uscire un equazione del genere:
$k^2-2k-3 !=0$
Ti trovi le radici e vedi quanto è il rango.
$k^2-2k-3 !=0$
Ti trovi le radici e vedi quanto è il rango.
a ecco... perchè utilizzando rouchè-capelli che dice che "un sistema ha soluzioni solo se il rango della matrice incompleta e uguale a quello della matrice completa" pensavo dovessi fare il rango della matrice con i k.. considerare la matrice come una normale matrice di numeri in pratica.. sono proprio straconfuso su questo argomento.. quindi le soluzioni di k per i quali il sistema e incompatibile o impossibile mi vengono date poi risolvendo quella equazione?
Si in pratica se risolvi quell'equazione ti dovrebbe venire
$k!=-1,3 => rgA=3$
$k=-1,3 => rgA=2$
Così dovrebbe essere...
$k!=-1,3 => rgA=3$
$k=-1,3 => rgA=2$
Così dovrebbe essere...
ok.. t ringrazio infinitamente.. e se la matrice non fosse quadrata è possibile trovare il parametro? se si in che modo?
se la matrice non è quadrata (come ad esempio la matrice completa di questo esercizio) basta che applichi il teorema degli orlati per stabilire qual è il rango.
di cosa?? e la prima che lo sento nominare questo teorema...
così si chiama.
Una delle sue utilità è quello di trovare il rango di una matrice anche quando la matrice non è quadrata.
Una delle sue utilità è quello di trovare il rango di una matrice anche quando la matrice non è quadrata.
ok.. t ringrazio... strano però che a noi all'Unical hanno sempre messo al compito di algebra matrici quadrate con parametro tranne l'anno scorso.. lo hanno fatto appposta xke volevano bocciarmi..... grazie ancora
no diciamo che la cosa più strana e non aver fatto il teorema degli orlati
t giuro mai fatto a lezione.. epprue le ho seguite tutte.... mah... e nemmeno sul mio libro ce da nessuna parte.. bo...
scusa ma tu queste cose le studi per il corso di algebra lineare?
esatto... corso di algebra lineare e geometria
è davvero strano allora.
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